Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39514 / 41626
↖ ↑ ↗
← S 43.683763°
E 37.056885°		 ← 441.70 m → S 43.683763°
E 37.062378°		 →
↑
441.70 m
↓
↑
441.70 m
↓
S 43.687736°
E 37.056885°		 ← 441.67 m →
195 093 m²		 S 43.687736°
E 37.062378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602943420410156 y=0.635169982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602943420410156 × 216)
    floor (0.602943420410156 × 65536)
    floor (39514.5)     		tx = 39514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635169982910156 × 216)
    floor (0.635169982910156 × 65536)
    floor (41626.5)     		ty = 41626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39514 / 41626 ti = "16/39514/41626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39514/41626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39514 ÷ 216
    39514 ÷ 65536     		x = 0.602935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41626 ÷ 216
    41626 ÷ 65536     		y = 0.635162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602935791015625 × 2 - 1) × π
    0.20587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64676465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.27032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849250113668915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64676465} λ = 0.64676465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849250113668915))-π/2
    2×atan(0.427735564767956)-π/2
    2×0.404185411825639-π/2
    0.808370823651278-1.57079632675     		φ = -0.76242550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64676465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.056885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76242550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.683763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39514 KachelY 41626 0.64676465 -0.76242550 37.056885 -43.683763
    Oben rechts KachelX + 1 39515 KachelY 41626 0.64686052 -0.76242550 37.062378 -43.683763
    Unten links KachelX 39514 KachelY + 1 41627 0.64676465 -0.76249483 37.056885 -43.687736
    Unten rechts KachelX + 1 39515 KachelY + 1 41627 0.64686052 -0.76249483 37.062378 -43.687736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76242550--0.76249483) × R
    6.93299999999786e-05 × 6371000     		dl = 441.701429999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76242550--0.76249483) × R
    6.93299999999786e-05 × 6371000     		dr = 441.701429999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64676465-0.64686052) × cos(-0.76242550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723162901291906 × 6371000     		do = 441.699055826804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64676465-0.64686052) × cos(-0.76249483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723115014882413 × 6371000     		du = 441.669807393536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76242550)-sin(-0.76249483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723162901291906-0.723115014882413)×R²
    abs(0.64686052-0.64676465)×4.78864094928255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78864094928255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78864094928255e-05×40589641000000     		ar = 195092.645128947m²