Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39511 / 41624
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
E 37.040405°		 ← 441.76 m → S 43.675818°
E 37.045898°		 →
↑
441.77 m
↓
↑
441.77 m
↓
S 43.679791°
E 37.040405°		 ← 441.73 m →
195 147 m²		 S 43.679791°
E 37.045898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602897644042969 y=0.635139465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602897644042969 × 216)
    floor (0.602897644042969 × 65536)
    floor (39511.5)     		tx = 39511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635139465332031 × 216)
    floor (0.635139465332031 × 65536)
    floor (41624.5)     		ty = 41624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39511 / 41624 ti = "16/39511/41624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39511/41624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39511 ÷ 216
    39511 ÷ 65536     		x = 0.602890014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41624 ÷ 216
    41624 ÷ 65536     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602890014648438 × 2 - 1) × π
    0.205780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64647703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64647703} λ = 0.64647703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64647703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.040405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39511 KachelY 41624 0.64647703 -0.76228683 37.040405 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 39512 KachelY 41624 0.64657290 -0.76228683 37.045898 -43.675818
    Unten links KachelX 39511 KachelY + 1 41625 0.64647703 -0.76235617 37.040405 -43.679791
    Unten rechts KachelX + 1 39512 KachelY + 1 41625 0.64657290 -0.76235617 37.045898 -43.679791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76235617) × R
    6.93400000000288e-05 × 6371000     		dl = 441.765140000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76235617) × R
    6.93400000000288e-05 × 6371000     		dr = 441.765140000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64647703-0.64657290) × cos(-0.76228683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 441.757550541882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64647703-0.64657290) × cos(-0.76235617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723210784225409 × 6371000     		du = 441.728302136979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76235617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.723210784225409)×R²
    abs(0.64657290-0.64647703)×4.78863630546389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78863630546389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78863630546389e-05×40589641000000     		ar = 195146.625776676m²