Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39509 / 41621
↖ ↑ ↗
← S 43.663898°
E 37.029419°		 ← 441.85 m → S 43.663898°
E 37.034912°		 →
↑
441.89 m
↓
↑
441.89 m
↓
S 43.667872°
E 37.029419°		 ← 441.82 m →
195 242 m²		 S 43.667872°
E 37.034912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602867126464844 y=0.635093688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602867126464844 × 216)
    floor (0.602867126464844 × 65536)
    floor (39509.5)     		tx = 39509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635093688964844 × 216)
    floor (0.635093688964844 × 65536)
    floor (41621.5)     		ty = 41621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39509 / 41621 ti = "16/39509/41621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39509/41621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39509 ÷ 216
    39509 ÷ 65536     		x = 0.602859497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41621 ÷ 216
    41621 ÷ 65536     		y = 0.635086059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602859497070312 × 2 - 1) × π
    0.205718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64628528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635086059570312 × 2 - 1) × π
    -0.270172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848770744672714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64628528} λ = 0.64628528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848770744672714))-π/2
    2×atan(0.427940657089801)-π/2
    2×0.40435877145587-π/2
    0.80871754291174-1.57079632675     		φ = -0.76207878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64628528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.029419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76207878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.663898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39509 KachelY 41621 0.64628528 -0.76207878 37.029419 -43.663898
    Oben rechts KachelX + 1 39510 KachelY 41621 0.64638115 -0.76207878 37.034912 -43.663898
    Unten links KachelX 39509 KachelY + 1 41622 0.64628528 -0.76214814 37.029419 -43.667872
    Unten rechts KachelX + 1 39510 KachelY + 1 41622 0.64638115 -0.76214814 37.034912 -43.667872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76207878--0.76214814) × R
    6.93600000000183e-05 × 6371000     		dl = 441.892560000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76207878--0.76214814) × R
    6.93600000000183e-05 × 6371000     		dr = 441.892560000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64628528-0.64638115) × cos(-0.76207878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723402329524788 × 6371000     		do = 441.845295663241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64628528-0.64638115) × cos(-0.76214814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723354439786751 × 6371000     		du = 441.816045196939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76207878)-sin(-0.76214814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723402329524788-0.723354439786751)×R²
    abs(0.64638115-0.64628528)×4.78897380368215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78897380368215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78897380368215e-05×40589641000000     		ar = 195241.686120842m²