Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39504 / 41620
↖ ↑ ↗
← S 43.659924°
E 37.001953°		 ← 441.92 m → S 43.659924°
E 37.007447°		 →
↑
441.83 m
↓
↑
441.83 m
↓
S 43.663898°
E 37.001953°		 ← 441.89 m →
195 247 m²		 S 43.663898°
E 37.007447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602790832519531 y=0.635078430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602790832519531 × 216)
    floor (0.602790832519531 × 65536)
    floor (39504.5)     		tx = 39504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635078430175781 × 216)
    floor (0.635078430175781 × 65536)
    floor (41620.5)     		ty = 41620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39504 / 41620 ti = "16/39504/41620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39504/41620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39504 ÷ 216
    39504 ÷ 65536     		x = 0.602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41620 ÷ 216
    41620 ÷ 65536     		y = 0.63507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602783203125 × 2 - 1) × π
    0.20556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64580591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848674870873474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64580591} λ = 0.64580591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848674870873474))-π/2
    2×atan(0.427981687353277)-π/2
    2×0.404393450268318-π/2
    0.808786900536636-1.57079632675     		φ = -0.76200943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64580591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76200943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.659924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39504 KachelY 41620 0.64580591 -0.76200943 37.001953 -43.659924
    Oben rechts KachelX + 1 39505 KachelY 41620 0.64590179 -0.76200943 37.007447 -43.659924
    Unten links KachelX 39504 KachelY + 1 41621 0.64580591 -0.76207878 37.001953 -43.663898
    Unten rechts KachelX + 1 39505 KachelY + 1 41621 0.64590179 -0.76207878 37.007447 -43.663898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76200943--0.76207878) × R
    6.9349999999968e-05 × 6371000     		dl = 441.828849999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76200943--0.76207878) × R
    6.9349999999968e-05 × 6371000     		dr = 441.828849999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64580591-0.64590179) × cos(-0.76200943) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		do = 441.920630800212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64580591-0.64590179) × cos(-0.76207878) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.723402329524788 × 6371000     		du = 441.891383625886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76200943)-sin(-0.76207878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723450208878909-0.723402329524788)×R²
    abs(0.64590179-0.64580591)×4.78793541204281e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78793541204281e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78793541204281e-05×40589641000000     		ar = 195246.82305336m²