Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39500 / 41613
↖ ↑ ↗
← S 43.632099°
E 36.979981°		 ← 442.08 m → S 43.632099°
E 36.985474°		 →
↑
442.08 m
↓
↑
442.08 m
↓
S 43.636075°
E 36.979981°		 ← 442.05 m →
195 430 m²		 S 43.636075°
E 36.985474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602729797363281 y=0.634971618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602729797363281 × 216)
    floor (0.602729797363281 × 65536)
    floor (39500.5)     		tx = 39500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634971618652344 × 216)
    floor (0.634971618652344 × 65536)
    floor (41613.5)     		ty = 41613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39500 / 41613 ti = "16/39500/41613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39500/41613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39500 ÷ 216
    39500 ÷ 65536     		x = 0.60272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41613 ÷ 216
    41613 ÷ 65536     		y = 0.634963989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60272216796875 × 2 - 1) × π
    0.2054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64542242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634963989257812 × 2 - 1) × π
    -0.269927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848003754278793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64542242} λ = 0.64542242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848003754278793))-π/2
    2×atan(0.428269009368382)-π/2
    2×0.404636266226732-π/2
    0.809272532453463-1.57079632675     		φ = -0.76152379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64542242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.979981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76152379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.632099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39500 KachelY 41613 0.64542242 -0.76152379 36.979981 -43.632099
    Oben rechts KachelX + 1 39501 KachelY 41613 0.64551829 -0.76152379 36.985474 -43.632099
    Unten links KachelX 39500 KachelY + 1 41614 0.64542242 -0.76159318 36.979981 -43.636075
    Unten rechts KachelX + 1 39501 KachelY + 1 41614 0.64551829 -0.76159318 36.985474 -43.636075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76152379--0.76159318) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dl = 442.083689999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76152379--0.76159318) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dr = 442.083689999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64542242-0.64551829) × cos(-0.76152379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723785398027073 × 6371000     		do = 442.079269219508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64542242-0.64551829) × cos(-0.76159318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723737515439954 × 6371000     		du = 442.0500231209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76152379)-sin(-0.76159318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723785398027073-0.723737515439954)×R²
    abs(0.64551829-0.64542242)×4.78825871189636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78825871189636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78825871189636e-05×40589641000000     		ar = 195429.570075549m²