Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 395 / 571
↖ ↑ ↗
← N 62.021528°
W110.566406°		 ← 9 169.79 m → N 62.021528°
W110.390625°		 →
↑
9 182.20 m
↓
↑
9 182.20 m
↓
N 61.938950°
W110.566406°		 ← 9 194.66 m →
84 313 101 m²		 N 61.938950°
W110.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.193115234375 y=0.279052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.193115234375 × 211)
    floor (0.193115234375 × 2048)
    floor (395.5)     		tx = 395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279052734375 × 211)
    floor (0.279052734375 × 2048)
    floor (571.5)     		ty = 571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 395 / 571 ti = "11/395/571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/395/571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 395 ÷ 211
    395 ÷ 2048     		x = 0.19287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 571 ÷ 211
    571 ÷ 2048     		y = 0.27880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19287109375 × 2 - 1) × π
    -0.6142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92974783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27880859375 × 2 - 1) × π
    0.4423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38978659378467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92974783} λ = -1.92974783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38978659378467))-π/2
    2×atan(4.01399335045534)-π/2
    2×1.32663810041391-π/2
    2.65327620082783-1.57079632675     		φ = 1.08247987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92974783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08247987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.021528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 395 KachelY 571 -1.92974783 1.08247987 -110.566406 62.021528
    Oben rechts KachelX + 1 396 KachelY 571 -1.92667987 1.08247987 -110.390625 62.021528
    Unten links KachelX 395 KachelY + 1 572 -1.92974783 1.08103862 -110.566406 61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 396 KachelY + 1 572 -1.92667987 1.08103862 -110.390625 61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08247987-1.08103862) × R
    0.00144125000000006 × 6371000     		dl = 9182.20375000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08247987-1.08103862) × R
    0.00144125000000006 × 6371000     		dr = 9182.20375000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92974783--1.92667987) × cos(1.08247987) × R
    0.00306795999999987 × 0.469139776432619 × 6371000     		do = 9169.79347843998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92974783--1.92667987) × cos(1.08103862) × R
    0.00306795999999987 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 9194.66210683223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08247987)-sin(1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469139776432619-0.470412091102688)×R²
    abs(-1.92667987--1.92974783)×0.00127231467006911×R²
    0.00306795999999987×0.00127231467006911×6371000²
    0.00306795999999987×0.00127231467006911×40589641000000     		ar = 84313101.0655127m²