Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 395 / 412
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
W 41.132813°		 ← 32.734 km → N 33.137551°
W 40.781250°		 →
↑
32.789 km
↓
↑
32.789 km
↓
N 32.842674°
W 41.132813°		 ← 32.844 km →
1 075.11 km²		 N 32.842674°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38623046875 y=0.40283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38623046875 × 210)
    floor (0.38623046875 × 1024)
    floor (395.5)     		tx = 395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40283203125 × 210)
    floor (0.40283203125 × 1024)
    floor (412.5)     		ty = 412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 395 / 412 ti = "10/395/412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/395/412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 395 ÷ 210
    395 ÷ 1024     		x = 0.3857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 412 ÷ 210
    412 ÷ 1024     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3857421875 × 2 - 1) × π
    -0.228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71790301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71790301} λ = -0.71790301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71790301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 395 KachelY 412 -0.71790301 0.57835937 -41.132813 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 396 KachelY 412 -0.71176709 0.57835937 -40.781250 33.137551
    Unten links KachelX 395 KachelY + 1 413 -0.71790301 0.57321279 -41.132813 32.842674
    Unten rechts KachelX + 1 396 KachelY + 1 413 -0.71176709 0.57321279 -40.781250 32.842674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57321279) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dl = 32788.8611800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57321279) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dr = 32788.8611800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71790301--0.71176709) × cos(0.57835937) × R
    0.00613591999999996 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 32734.0567313648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71790301--0.71176709) × cos(0.57321279) × R
    0.00613591999999996 × 0.840162908639566 × 6371000     		du = 32843.6033245928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57321279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.840162908639566)×R²
    abs(-0.71176709--0.71790301)×0.00280228035542629×R²
    0.00613591999999996×0.00280228035542629×6371000²
    0.00613591999999996×0.00280228035542629×40589641000000     		ar = 1075110769.1069m²