Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39499 / 41615
↖ ↑ ↗
← S 43.640051°
E 36.974487°		 ← 442.07 m → S 43.640051°
E 36.979981°		 →
↑
442.02 m
↓
↑
442.02 m
↓
S 43.644026°
E 36.974487°		 ← 442.04 m →
195 396 m²		 S 43.644026°
E 36.979981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602714538574219 y=0.635002136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602714538574219 × 216)
    floor (0.602714538574219 × 65536)
    floor (39499.5)     		tx = 39499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635002136230469 × 216)
    floor (0.635002136230469 × 65536)
    floor (41615.5)     		ty = 41615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39499 / 41615 ti = "16/39499/41615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39499/41615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39499 ÷ 216
    39499 ÷ 65536     		x = 0.602706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41615 ÷ 216
    41615 ÷ 65536     		y = 0.634994506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602706909179688 × 2 - 1) × π
    0.205413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64532654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634994506835938 × 2 - 1) × π
    -0.269989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.848195501877274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64532654} λ = 0.64532654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848195501877274))-π/2
    2×atan(0.428186897686942)-π/2
    2×0.40456687876175-π/2
    0.8091337575235-1.57079632675     		φ = -0.76166257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64532654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.974487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76166257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.640051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39499 KachelY 41615 0.64532654 -0.76166257 36.974487 -43.640051
    Oben rechts KachelX + 1 39500 KachelY 41615 0.64542242 -0.76166257 36.979981 -43.640051
    Unten links KachelX 39499 KachelY + 1 41616 0.64532654 -0.76173195 36.974487 -43.644026
    Unten rechts KachelX + 1 39500 KachelY + 1 41616 0.64542242 -0.76173195 36.979981 -43.644026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76166257--0.76173195) × R
    6.93800000000078e-05 × 6371000     		dl = 442.019980000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76166257--0.76173195) × R
    6.93800000000078e-05 × 6371000     		dr = 442.019980000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64532654-0.64542242) × cos(-0.76166257) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		do = 442.066881160352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64532654-0.64542242) × cos(-0.76173195) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.723641746713376 × 6371000     		du = 442.037631969873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76166257)-sin(-0.76173195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723689629368059-0.723641746713376)×R²
    abs(0.64542242-0.64532654)×4.7882654682363e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7882654682363e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7882654682363e-05×40589641000000     		ar = 195395.929684236m²