Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39496 / 29880
↖ ↑ ↗
← N 15.665354°
E 36.958008°		 ← 588.16 m → N 15.665354°
E 36.963501°		 →
↑
588.11 m
↓
↑
588.11 m
↓
N 15.660065°
E 36.958008°		 ← 588.18 m →
345 906 m²		 N 15.660065°
E 36.963501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602668762207031 y=0.455940246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602668762207031 × 216)
    floor (0.602668762207031 × 65536)
    floor (39496.5)     		tx = 39496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455940246582031 × 216)
    floor (0.455940246582031 × 65536)
    floor (29880.5)     		ty = 29880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39496 / 29880 ti = "16/39496/29880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39496/29880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39496 ÷ 216
    39496 ÷ 65536     		x = 0.6026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29880 ÷ 216
    29880 ÷ 65536     		y = 0.4559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6026611328125 × 2 - 1) × π
    0.205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64503892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276883532205444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64503892} λ = 0.64503892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276883532205444))-π/2
    2×atan(1.3190127395838)-π/2
    2×0.922104167877934-π/2
    1.84420833575587-1.57079632675     		φ = 0.27341201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64503892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.958008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27341201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.665354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39496 KachelY 29880 0.64503892 0.27341201 36.958008 15.665354
    Oben rechts KachelX + 1 39497 KachelY 29880 0.64513480 0.27341201 36.963501 15.665354
    Unten links KachelX 39496 KachelY + 1 29881 0.64503892 0.27331970 36.958008 15.660065
    Unten rechts KachelX + 1 39497 KachelY + 1 29881 0.64513480 0.27331970 36.963501 15.660065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27341201-0.27331970) × R
    9.23099999999843e-05 × 6371000     		dl = 588.1070099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27341201-0.27331970) × R
    9.23099999999843e-05 × 6371000     		dr = 588.1070099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64503892-0.64513480) × cos(0.27341201) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.962855197787977 × 6371000     		do = 588.161522594774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64503892-0.64513480) × cos(0.27331970) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.96288011907247 × 6371000     		du = 588.17674579829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27341201)-sin(0.27331970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962855197787977-0.96288011907247)×R²
    abs(0.64513480-0.64503892)×2.49212844930513e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.49212844930513e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.49212844930513e-05×40589641000000     		ar = 345906.391132044m²