Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39491 / 30916
↖ ↑ ↗
← N 10.120301°
E 36.930542°		 ← 601.35 m → N 10.120301°
E 36.936035°		 →
↑
601.29 m
↓
↑
601.29 m
↓
N 10.114894°
E 36.930542°		 ← 601.36 m →
361 590 m²		 N 10.114894°
E 36.936035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602592468261719 y=0.471748352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602592468261719 × 216)
    floor (0.602592468261719 × 65536)
    floor (39491.5)     		tx = 39491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471748352050781 × 216)
    floor (0.471748352050781 × 65536)
    floor (30916.5)     		ty = 30916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39491 / 30916 ti = "16/39491/30916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39491/30916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39491 ÷ 216
    39491 ÷ 65536     		x = 0.602584838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30916 ÷ 216
    30916 ÷ 65536     		y = 0.47174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602584838867188 × 2 - 1) × π
    0.205169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64455955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47174072265625 × 2 - 1) × π
    0.0565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.177558276192688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64455955} λ = 0.64455955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177558276192688))-π/2
    2×atan(1.19429765499478)-π/2
    2×0.873714455783146-π/2
    1.74742891156629-1.57079632675     		φ = 0.17663258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64455955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.930542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17663258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.120301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39491 KachelY 30916 0.64455955 0.17663258 36.930542 10.120301
    Oben rechts KachelX + 1 39492 KachelY 30916 0.64465543 0.17663258 36.936035 10.120301
    Unten links KachelX 39491 KachelY + 1 30917 0.64455955 0.17653820 36.930542 10.114894
    Unten rechts KachelX + 1 39492 KachelY + 1 30917 0.64465543 0.17653820 36.936035 10.114894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17663258-0.17653820) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dl = 601.294980000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17663258-0.17653820) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dr = 601.294980000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64455955-0.64465543) × cos(0.17663258) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		do = 601.347230377948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64455955-0.64465543) × cos(0.17653820) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		du = 601.357358081115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17663258)-sin(0.17653820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984440981263803-0.984457560912864)×R²
    abs(0.64465543-0.64455955)×1.65796490609882e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.65796490609882e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.65796490609882e-05×40589641000000     		ar = 361590.11600013m²