Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3949 / 1715
↖ ↑ ↗
← N 71.705093°
W  6.459961°		 ← 1 533.91 m → N 71.705093°
W  6.416016°		 →
↑
1 534.52 m
↓
↑
1 534.52 m
↓
N 71.691293°
W  6.459961°		 ← 1 535.03 m →
2 354 671 m²		 N 71.691293°
W  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48211669921875 y=0.20941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48211669921875 × 213)
    floor (0.48211669921875 × 8192)
    floor (3949.5)     		tx = 3949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20941162109375 × 213)
    floor (0.20941162109375 × 8192)
    floor (1715.5)     		ty = 1715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3949 / 1715 ti = "13/3949/1715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3949/1715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3949 ÷ 213
    3949 ÷ 8192     		x = 0.4820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1715 ÷ 213
    1715 ÷ 8192     		y = 0.2093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2093505859375 × 2 - 1) × π
    0.581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82620412792566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11274759} λ = -0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82620412792566))-π/2
    2×atan(6.21026847640083)-π/2
    2×1.41114314094339-π/2
    2.82228628188679-1.57079632675     		φ = 1.25148996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25148996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.705093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3949 KachelY 1715 -0.11274759 1.25148996 -6.459961 71.705093
    Oben rechts KachelX + 1 3950 KachelY 1715 -0.11198060 1.25148996 -6.416016 71.705093
    Unten links KachelX 3949 KachelY + 1 1716 -0.11274759 1.25124910 -6.459961 71.691293
    Unten rechts KachelX + 1 3950 KachelY + 1 1716 -0.11198060 1.25124910 -6.416016 71.691293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25148996-1.25124910) × R
    0.00024086000000012 × 6371000     		dl = 1534.51906000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25148996-1.25124910) × R
    0.00024086000000012 × 6371000     		dr = 1534.51906000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11274759--0.11198060) × cos(1.25148996) × R
    0.000766989999999995 × 0.31390806379024 × 6371000     		do = 1533.90964738789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11274759--0.11198060) × cos(1.25124910) × R
    0.000766989999999995 × 0.314136740024525 × 6371000     		du = 1535.02707227231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25148996)-sin(1.25124910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31390806379024-0.314136740024525)×R²
    abs(-0.11198060--0.11274759)×0.000228676234285907×R²
    0.000766989999999995×0.000228676234285907×6371000²
    0.000766989999999995×0.000228676234285907×40589641000000     		ar = 2354670.95650817m²