Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39488 / 29888
↖ ↑ ↗
← N 15.623037°
E 36.914062°		 ← 588.22 m → N 15.623037°
E 36.919555°		 →
↑
588.23 m
↓
↑
588.23 m
↓
N 15.617747°
E 36.914062°		 ← 588.24 m →
346 017 m²		 N 15.617747°
E 36.919555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602546691894531 y=0.456062316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602546691894531 × 216)
    floor (0.602546691894531 × 65536)
    floor (39488.5)     		tx = 39488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456062316894531 × 216)
    floor (0.456062316894531 × 65536)
    floor (29888.5)     		ty = 29888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39488 / 29888 ti = "16/39488/29888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39488/29888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39488 ÷ 216
    39488 ÷ 65536     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29888 ÷ 216
    29888 ÷ 65536     		y = 0.4560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276116541811523))-π/2
    2×atan(1.31800145735454)-π/2
    2×0.921734879328903-π/2
    1.84346975865781-1.57079632675     		φ = 0.27267343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27267343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.623037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39488 KachelY 29888 0.64427193 0.27267343 36.914062 15.623037
    Oben rechts KachelX + 1 39489 KachelY 29888 0.64436780 0.27267343 36.919555 15.623037
    Unten links KachelX 39488 KachelY + 1 29889 0.64427193 0.27258110 36.914062 15.617747
    Unten rechts KachelX + 1 39489 KachelY + 1 29889 0.64436780 0.27258110 36.919555 15.617747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27267343-0.27258110) × R
    9.23299999999738e-05 × 6371000     		dl = 588.234429999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27267343-0.27258110) × R
    9.23299999999738e-05 × 6371000     		dr = 588.234429999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64436780) × cos(0.27267343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963054365247437 × 6371000     		do = 588.221828138235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64436780) × cos(0.27258110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963079226262802 × 6371000     		du = 588.23701294237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27267343)-sin(0.27258110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963054365247437-0.963079226262802)×R²
    abs(0.64436780-0.64427193)×2.48610153654738e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.48610153654738e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.48610153654738e-05×40589641000000     		ar = 346016.798146599m²