Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39487 / 29881
↖ ↑ ↗
← N 15.660065°
E 36.908570°		 ← 588.12 m → N 15.660065°
E 36.914062°		 →
↑
588.17 m
↓
↑
588.17 m
↓
N 15.654776°
E 36.908570°		 ← 588.13 m →
345 917 m²		 N 15.654776°
E 36.914062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602531433105469 y=0.455955505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602531433105469 × 216)
    floor (0.602531433105469 × 65536)
    floor (39487.5)     		tx = 39487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455955505371094 × 216)
    floor (0.455955505371094 × 65536)
    floor (29881.5)     		ty = 29881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39487 / 29881 ti = "16/39487/29881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39487/29881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39487 ÷ 216
    39487 ÷ 65536     		x = 0.602523803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29881 ÷ 216
    29881 ÷ 65536     		y = 0.455947875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602523803710938 × 2 - 1) × π
    0.205047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64417606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455947875976562 × 2 - 1) × π
    0.088104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.276787658406204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64417606} λ = 0.64417606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276787658406204))-π/2
    2×atan(1.31888628688306)-π/2
    2×0.922058010987576-π/2
    1.84411602197515-1.57079632675     		φ = 0.27331970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64417606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.908570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27331970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.660065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39487 KachelY 29881 0.64417606 0.27331970 36.908570 15.660065
    Oben rechts KachelX + 1 39488 KachelY 29881 0.64427193 0.27331970 36.914062 15.660065
    Unten links KachelX 39487 KachelY + 1 29882 0.64417606 0.27322738 36.908570 15.654776
    Unten rechts KachelX + 1 39488 KachelY + 1 29882 0.64427193 0.27322738 36.914062 15.654776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27331970-0.27322738) × R
    9.23199999999791e-05 × 6371000     		dl = 588.170719999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27331970-0.27322738) × R
    9.23199999999791e-05 × 6371000     		dr = 588.170719999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64417606-0.64427193) × cos(0.27331970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96288011907247 × 6371000     		do = 588.115400705595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64417606-0.64427193) × cos(0.27322738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.962905034850535 × 6371000     		du = 588.130618958118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27331970)-sin(0.27322738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96288011907247-0.962905034850535)×R²
    abs(0.64427193-0.64417606)×2.49157780655151e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.49157780655151e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.49157780655151e-05×40589641000000     		ar = 345916.73438697m²