Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3948 / 4836
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
W  6.503906°		 ← 4 192.83 m → S 30.902225°
W  6.459961°		 →
↑
4 191.99 m
↓
↑
4 191.99 m
↓
S 30.939924°
W  6.503906°		 ← 4 191.18 m →
17 572 846 m²		 S 30.939924°
W  6.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48199462890625 y=0.59039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48199462890625 × 213)
    floor (0.48199462890625 × 8192)
    floor (3948.5)     		tx = 3948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59039306640625 × 213)
    floor (0.59039306640625 × 8192)
    floor (4836.5)     		ty = 4836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3948 / 4836 ti = "13/3948/4836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3948/4836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3948 ÷ 213
    3948 ÷ 8192     		x = 0.48193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4836 ÷ 213
    4836 ÷ 8192     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11351458} λ = -0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3948 KachelY 4836 -0.11351458 -0.53934557 -6.503906 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 3949 KachelY 4836 -0.11274759 -0.53934557 -6.459961 -30.902225
    Unten links KachelX 3948 KachelY + 1 4837 -0.11351458 -0.54000355 -6.503906 -30.939924
    Unten rechts KachelX + 1 3949 KachelY + 1 4837 -0.11274759 -0.54000355 -6.459961 -30.939924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.54000355) × R
    0.000657979999999947 × 6371000     		dl = 4191.99057999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.54000355) × R
    0.000657979999999947 × 6371000     		dr = 4191.99057999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11351458--0.11274759) × cos(-0.53934557) × R
    0.000766990000000009 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 4192.83095757821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11351458--0.11274759) × cos(-0.54000355) × R
    0.000766990000000009 × 0.857706856175649 × 6371000     		du = 4191.17879748935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.54000355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.857706856175649)×R²
    abs(-0.11274759--0.11351458)×0.000338107512034891×R²
    0.000766990000000009×0.000338107512034891×6371000²
    0.000766990000000009×0.000338107512034891×40589641000000     		ar = 17572845.5919318m²