Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39476 / 29903
↖ ↑ ↗
← N 15.543668°
E 36.848145°		 ← 588.45 m → N 15.543668°
E 36.853638°		 →
↑
588.49 m
↓
↑
588.49 m
↓
N 15.538376°
E 36.848145°		 ← 588.46 m →
346 300 m²		 N 15.538376°
E 36.853638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602363586425781 y=0.456291198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602363586425781 × 216)
    floor (0.602363586425781 × 65536)
    floor (39476.5)     		tx = 39476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456291198730469 × 216)
    floor (0.456291198730469 × 65536)
    floor (29903.5)     		ty = 29903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39476 / 29903 ti = "16/39476/29903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39476/29903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39476 ÷ 216
    39476 ÷ 65536     		x = 0.60235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29903 ÷ 216
    29903 ÷ 65536     		y = 0.456283569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60235595703125 × 2 - 1) × π
    0.2047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64312145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456283569335938 × 2 - 1) × π
    0.087432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.274678434822922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64312145} λ = 0.64312145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274678434822922))-π/2
    2×atan(1.31610739250811)-π/2
    2×0.921042257829329-π/2
    1.84208451565866-1.57079632675     		φ = 0.27128819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64312145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.848145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27128819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.543668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39476 KachelY 29903 0.64312145 0.27128819 36.848145 15.543668
    Oben rechts KachelX + 1 39477 KachelY 29903 0.64321732 0.27128819 36.853638 15.543668
    Unten links KachelX 39476 KachelY + 1 29904 0.64312145 0.27119582 36.848145 15.538376
    Unten rechts KachelX + 1 39477 KachelY + 1 29904 0.64321732 0.27119582 36.853638 15.538376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27128819-0.27119582) × R
    9.23700000000083e-05 × 6371000     		dl = 588.489270000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27128819-0.27119582) × R
    9.23700000000083e-05 × 6371000     		dr = 588.489270000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64312145-0.64321732) × cos(0.27128819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963426496034759 × 6371000     		do = 588.449121071971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64312145-0.64321732) × cos(0.27119582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96345124456618 × 6371000     		du = 588.464237172289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27128819)-sin(0.27119582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963426496034759-0.96345124456618)×R²
    abs(0.64321732-0.64312145)×2.47485314208706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.47485314208706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.47485314208706e-05×40589641000000     		ar = 346300.441769458m²