Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39475 / 29898
↖ ↑ ↗
← N 15.570128°
E 36.842651°		 ← 588.43 m → N 15.570128°
E 36.848145°		 →
↑
588.43 m
↓
↑
588.43 m
↓
N 15.564836°
E 36.842651°		 ← 588.45 m →
346 255 m²		 N 15.564836°
E 36.848145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602348327636719 y=0.456214904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602348327636719 × 216)
    floor (0.602348327636719 × 65536)
    floor (39475.5)     		tx = 39475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456214904785156 × 216)
    floor (0.456214904785156 × 65536)
    floor (29898.5)     		ty = 29898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39475 / 29898 ti = "16/39475/29898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39475/29898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39475 ÷ 216
    39475 ÷ 65536     		x = 0.602340698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29898 ÷ 216
    29898 ÷ 65536     		y = 0.456207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602340698242188 × 2 - 1) × π
    0.204681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64302557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456207275390625 × 2 - 1) × π
    0.08758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.275157803819122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64302557} λ = 0.64302557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275157803819122))-π/2
    2×atan(1.31673844482912)-π/2
    2×0.921273161386351-π/2
    1.8425463227727-1.57079632675     		φ = 0.27175000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64302557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.842651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27175000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.570128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39475 KachelY 29898 0.64302557 0.27175000 36.842651 15.570128
    Oben rechts KachelX + 1 39476 KachelY 29898 0.64312145 0.27175000 36.848145 15.570128
    Unten links KachelX 39475 KachelY + 1 29899 0.64302557 0.27165764 36.842651 15.564836
    Unten rechts KachelX + 1 39476 KachelY + 1 29899 0.64312145 0.27165764 36.848145 15.564836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27175000-0.27165764) × R
    9.23600000000135e-05 × 6371000     		dl = 588.425560000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27175000-0.27165764) × R
    9.23600000000135e-05 × 6371000     		dr = 588.425560000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64302557-0.64312145) × cos(0.27175000) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.963302640816129 × 6371000     		do = 588.434843830055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64302557-0.64312145) × cos(0.27165764) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.96332742775941 × 6371000     		du = 588.449984971043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27175000)-sin(0.27165764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963302640816129-0.96332742775941)×R²
    abs(0.64312145-0.64302557)×2.47869432812298e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.47869432812298e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.47869432812298e-05×40589641000000     		ar = 346254.557467619m²