Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39473 / 41804
↖ ↑ ↗
← S 44.386691°
E 36.831665°		 ← 436.54 m → S 44.386691°
E 36.837158°		 →
↑
436.48 m
↓
↑
436.48 m
↓
S 44.390617°
E 36.831665°		 ← 436.51 m →
190 532 m²		 S 44.390617°
E 36.837158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602317810058594 y=0.637886047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602317810058594 × 216)
    floor (0.602317810058594 × 65536)
    floor (39473.5)     		tx = 39473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637886047363281 × 216)
    floor (0.637886047363281 × 65536)
    floor (41804.5)     		ty = 41804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39473 / 41804 ti = "16/39473/41804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39473/41804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39473 ÷ 216
    39473 ÷ 65536     		x = 0.602310180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41804 ÷ 216
    41804 ÷ 65536     		y = 0.63787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602310180664062 × 2 - 1) × π
    0.204620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64283382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866315649933655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64283382} λ = 0.64283382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866315649933655))-π/2
    2×atan(0.420497960426665)-π/2
    2×0.398051208016525-π/2
    0.796102416033051-1.57079632675     		φ = -0.77469391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64283382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.831665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77469391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.386691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39473 KachelY 41804 0.64283382 -0.77469391 36.831665 -44.386691
    Oben rechts KachelX + 1 39474 KachelY 41804 0.64292970 -0.77469391 36.837158 -44.386691
    Unten links KachelX 39473 KachelY + 1 41805 0.64283382 -0.77476242 36.831665 -44.390617
    Unten rechts KachelX + 1 39474 KachelY + 1 41805 0.64292970 -0.77476242 36.837158 -44.390617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77469391--0.77476242) × R
    6.85099999999661e-05 × 6371000     		dl = 436.477209999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77469391--0.77476242) × R
    6.85099999999661e-05 × 6371000     		dr = 436.477209999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64283382-0.64292970) × cos(-0.77469391) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714635176678648 × 6371000     		do = 436.535955334433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64283382-0.64292970) × cos(-0.77476242) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.714587252437066 × 6371000     		du = 436.506680740535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77469391)-sin(-0.77476242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714635176678648-0.714587252437066)×R²
    abs(0.64292970-0.64283382)×4.79242415816206e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79242415816206e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79242415816206e-05×40589641000000     		ar = 190531.607076902m²