Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3947 / 4841
↖ ↑ ↗
← S 31.090574°
W  6.547852°		 ← 4 184.56 m → S 31.090574°
W  6.503906°		 →
↑
4 183.77 m
↓
↑
4 183.77 m
↓
S 31.128199°
W  6.547852°		 ← 4 182.90 m →
17 503 771 m²		 S 31.128199°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48187255859375 y=0.59100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48187255859375 × 213)
    floor (0.48187255859375 × 8192)
    floor (3947.5)     		tx = 3947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59100341796875 × 213)
    floor (0.59100341796875 × 8192)
    floor (4841.5)     		ty = 4841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3947 / 4841 ti = "13/3947/4841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3947/4841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3947 ÷ 213
    3947 ÷ 8192     		x = 0.4818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4841 ÷ 213
    4841 ÷ 8192     		y = 0.5909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.571407843471069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11428157} λ = -0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571407843471069))-π/2
    2×atan(0.564729827582309)-π/2
    2×0.514081721258338-π/2
    1.02816344251668-1.57079632675     		φ = -0.54263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3947 KachelY 4841 -0.11428157 -0.54263288 -6.547852 -31.090574
    Oben rechts KachelX + 1 3948 KachelY 4841 -0.11351458 -0.54263288 -6.503906 -31.090574
    Unten links KachelX 3947 KachelY + 1 4842 -0.11428157 -0.54328957 -6.547852 -31.128199
    Unten rechts KachelX + 1 3948 KachelY + 1 4842 -0.11351458 -0.54328957 -6.503906 -31.128199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54263288--0.54328957) × R
    0.000656690000000015 × 6371000     		dl = 4183.7719900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54263288--0.54328957) × R
    0.000656690000000015 × 6371000     		dr = 4183.7719900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11428157--0.11351458) × cos(-0.54263288) × R
    0.000766989999999995 × 0.856352051717002 × 6371000     		do = 4184.55855459284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11428157--0.11351458) × cos(-0.54328957) × R
    0.000766989999999995 × 0.856012757335308 × 6371000     		du = 4182.90059487336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54263288)-sin(-0.54328957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856352051717002-0.856012757335308)×R²
    abs(-0.11351458--0.11428157)×0.000339294381693556×R²
    0.000766989999999995×0.000339294381693556×6371000²
    0.000766989999999995×0.000339294381693556×40589641000000     		ar = 17503771.2375322m²