Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39465 / 41923
↖ ↑ ↗
← S 44.851974°
E 36.787720°		 ← 433.05 m → S 44.851974°
E 36.793213°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
S 44.855869°
E 36.787720°		 ← 433.02 m →
187 521 m²		 S 44.855869°
E 36.793213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602195739746094 y=0.639701843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602195739746094 × 216)
    floor (0.602195739746094 × 65536)
    floor (39465.5)     		tx = 39465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639701843261719 × 216)
    floor (0.639701843261719 × 65536)
    floor (41923.5)     		ty = 41923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39465 / 41923 ti = "16/39465/41923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39465/41923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39465 ÷ 216
    39465 ÷ 65536     		x = 0.602188110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41923 ÷ 216
    41923 ÷ 65536     		y = 0.639694213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602188110351562 × 2 - 1) × π
    0.204376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64206683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639694213867188 × 2 - 1) × π
    -0.279388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.877724632043228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64206683} λ = 0.64206683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877724632043228))-π/2
    2×atan(0.415727769970324)-π/2
    2×0.393990846458076-π/2
    0.787981692916151-1.57079632675     		φ = -0.78281463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64206683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.787720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78281463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.851974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39465 KachelY 41923 0.64206683 -0.78281463 36.787720 -44.851974
    Oben rechts KachelX + 1 39466 KachelY 41923 0.64216271 -0.78281463 36.793213 -44.851974
    Unten links KachelX 39465 KachelY + 1 41924 0.64206683 -0.78288260 36.787720 -44.855869
    Unten rechts KachelX + 1 39466 KachelY + 1 41924 0.64216271 -0.78288260 36.793213 -44.855869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78281463--0.78288260) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dl = 433.03687000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78281463--0.78288260) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dr = 433.03687000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64206683-0.64216271) × cos(-0.78281463) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708931253297068 × 6371000     		do = 433.051705294986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64206683-0.64216271) × cos(-0.78288260) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		du = 433.022421468841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78281463)-sin(-0.78288260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708931253297068-0.708883313941751)×R²
    abs(0.64216271-0.64206683)×4.79393553172169e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79393553172169e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79393553172169e-05×40589641000000     		ar = 187521.014593177m²