Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39461 / 41912
↖ ↑ ↗
← S 44.809122°
E 36.765747°		 ← 433.33 m → S 44.809122°
E 36.771240°		 →
↑
433.29 m
↓
↑
433.29 m
↓
S 44.813018°
E 36.765747°		 ← 433.30 m →
187 751 m²		 S 44.813018°
E 36.771240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602134704589844 y=0.639533996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602134704589844 × 216)
    floor (0.602134704589844 × 65536)
    floor (39461.5)     		tx = 39461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639533996582031 × 216)
    floor (0.639533996582031 × 65536)
    floor (41912.5)     		ty = 41912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39461 / 41912 ti = "16/39461/41912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39461/41912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39461 ÷ 216
    39461 ÷ 65536     		x = 0.602127075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41912 ÷ 216
    41912 ÷ 65536     		y = 0.6395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602127075195312 × 2 - 1) × π
    0.204254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64168334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64168334} λ = 0.64168334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876670020251587))-π/2
    2×atan(0.416166432647406)-π/2
    2×0.394364809109742-π/2
    0.788729618219484-1.57079632675     		φ = -0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64168334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.765747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39461 KachelY 41912 0.64168334 -0.78206671 36.765747 -44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 39462 KachelY 41912 0.64177921 -0.78206671 36.771240 -44.809122
    Unten links KachelX 39461 KachelY + 1 41913 0.64168334 -0.78213472 36.765747 -44.813018
    Unten rechts KachelX + 1 39462 KachelY + 1 41913 0.64177921 -0.78213472 36.771240 -44.813018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78206671--0.78213472) × R
    6.80099999998962e-05 × 6371000     		dl = 433.291709999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78206671--0.78213472) × R
    6.80099999998962e-05 × 6371000     		dr = 433.291709999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64168334-0.64177921) × cos(-0.78206671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 433.32860332874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64168334-0.64177921) × cos(-0.78213472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70941061468441 × 6371000     		du = 433.299327357411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78206671)-sin(-0.78213472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.70941061468441)×R²
    abs(0.64177921-0.64168334)×4.79314956308707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79314956308707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79314956308707e-05×40589641000000     		ar = 187751.349082144m²