Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3946 / 4854
↖ ↑ ↗
← S 31.578536°
W  6.591797°		 ← 4 162.92 m → S 31.578536°
W  6.547852°		 →
↑
4 162.05 m
↓
↑
4 162.05 m
↓
S 31.615966°
W  6.591797°		 ← 4 161.24 m →
17 322 775 m²		 S 31.615966°
W  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48175048828125 y=0.59259033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48175048828125 × 213)
    floor (0.48175048828125 × 8192)
    floor (3946.5)     		tx = 3946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59259033203125 × 213)
    floor (0.59259033203125 × 8192)
    floor (4854.5)     		ty = 4854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3946 / 4854 ti = "13/3946/4854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3946/4854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3946 ÷ 213
    3946 ÷ 8192     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4854 ÷ 213
    4854 ÷ 8192     		y = 0.592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.18505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.581378718592041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581378718592041))-π/2
    2×atan(0.559126956178881)-π/2
    2×0.50982345532971-π/2
    1.01964691065942-1.57079632675     		φ = -0.55114942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55114942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.578536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3946 KachelY 4854 -0.11504856 -0.55114942 -6.591797 -31.578536
    Oben rechts KachelX + 1 3947 KachelY 4854 -0.11428157 -0.55114942 -6.547852 -31.578536
    Unten links KachelX 3946 KachelY + 1 4855 -0.11504856 -0.55180270 -6.591797 -31.615966
    Unten rechts KachelX + 1 3947 KachelY + 1 4855 -0.11428157 -0.55180270 -6.547852 -31.615966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55114942--0.55180270) × R
    0.000653279999999978 × 6371000     		dl = 4162.04687999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55114942--0.55180270) × R
    0.000653279999999978 × 6371000     		dr = 4162.04687999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11428157) × cos(-0.55114942) × R
    0.000766989999999995 × 0.85192317187383 × 6371000     		do = 4162.91686295696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11428157) × cos(-0.55180270) × R
    0.000766989999999995 × 0.851580889066527 × 6371000     		du = 4161.24430031579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55114942)-sin(-0.55180270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85192317187383-0.851580889066527)×R²
    abs(-0.11428157--0.11504856)×0.00034228280730364×R²
    0.000766989999999995×0.00034228280730364×6371000²
    0.000766989999999995×0.00034228280730364×40589641000000     		ar = 17322775.1151845m²