Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39459 / 41931
↖ ↑ ↗
← S 44.883120°
E 36.754761°		 ← 432.77 m → S 44.883120°
E 36.760254°		 →
↑
432.78 m
↓
↑
432.78 m
↓
S 44.887013°
E 36.754761°		 ← 432.74 m →
187 290 m²		 S 44.887013°
E 36.760254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602104187011719 y=0.639823913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602104187011719 × 216)
    floor (0.602104187011719 × 65536)
    floor (39459.5)     		tx = 39459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639823913574219 × 216)
    floor (0.639823913574219 × 65536)
    floor (41931.5)     		ty = 41931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39459 / 41931 ti = "16/39459/41931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39459/41931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39459 ÷ 216
    39459 ÷ 65536     		x = 0.602096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41931 ÷ 216
    41931 ÷ 65536     		y = 0.639816284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602096557617188 × 2 - 1) × π
    0.204193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64149159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639816284179688 × 2 - 1) × π
    -0.279632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.878491622437149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64149159} λ = 0.64149159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878491622437149))-π/2
    2×atan(0.415409033013988)-π/2
    2×0.393719048261942-π/2
    0.787438096523884-1.57079632675     		φ = -0.78335823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64149159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.754761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78335823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.883120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39459 KachelY 41931 0.64149159 -0.78335823 36.754761 -44.883120
    Oben rechts KachelX + 1 39460 KachelY 41931 0.64158746 -0.78335823 36.760254 -44.883120
    Unten links KachelX 39459 KachelY + 1 41932 0.64149159 -0.78342616 36.754761 -44.887013
    Unten rechts KachelX + 1 39460 KachelY + 1 41932 0.64158746 -0.78342616 36.760254 -44.887013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78335823--0.78342616) × R
    6.79299999999383e-05 × 6371000     		dl = 432.782029999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78335823--0.78342616) × R
    6.79299999999383e-05 × 6371000     		dr = 432.782029999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64149159-0.64158746) × cos(-0.78335823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708547759673426 × 6371000     		do = 432.772306069418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64149159-0.64158746) × cos(-0.78342616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708499822360578 × 6371000     		du = 432.743026545004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78335823)-sin(-0.78342616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708547759673426-0.708499822360578)×R²
    abs(0.64158746-0.64149159)×4.79373128478011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79373128478011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79373128478011e-05×40589641000000     		ar = 187289.74139429m²