Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39455 / 41911
↖ ↑ ↗
← S 44.805225°
E 36.732788°		 ← 433.36 m → S 44.805225°
E 36.738281°		 →
↑
433.36 m
↓
↑
433.36 m
↓
S 44.809122°
E 36.732788°		 ← 433.33 m →
187 792 m²		 S 44.809122°
E 36.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602043151855469 y=0.639518737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602043151855469 × 216)
    floor (0.602043151855469 × 65536)
    floor (39455.5)     		tx = 39455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639518737792969 × 216)
    floor (0.639518737792969 × 65536)
    floor (41911.5)     		ty = 41911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39455 / 41911 ti = "16/39455/41911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39455/41911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39455 ÷ 216
    39455 ÷ 65536     		x = 0.602035522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41911 ÷ 216
    41911 ÷ 65536     		y = 0.639511108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602035522460938 × 2 - 1) × π
    0.204071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64110810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639511108398438 × 2 - 1) × π
    -0.279022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.876574146452347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64110810} λ = 0.64110810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876574146452347))-π/2
    2×atan(0.416206334017138)-π/2
    2×0.394398819501851-π/2
    0.788797639003701-1.57079632675     		φ = -0.78199869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64110810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.732788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78199869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.805225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39455 KachelY 41911 0.64110810 -0.78199869 36.732788 -44.805225
    Oben rechts KachelX + 1 39456 KachelY 41911 0.64120397 -0.78199869 36.738281 -44.805225
    Unten links KachelX 39455 KachelY + 1 41912 0.64110810 -0.78206671 36.732788 -44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 39456 KachelY + 1 41912 0.64120397 -0.78206671 36.738281 -44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78199869--0.78206671) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dl = 433.355420000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78199869--0.78206671) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dr = 433.355420000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64110810-0.64120397) × cos(-0.78199869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70950648144116 × 6371000     		do = 433.357881599983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64110810-0.64120397) × cos(-0.78206671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 433.32860332874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78199869)-sin(-0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70950648144116-0.709458546180041)×R²
    abs(0.64120397-0.64110810)×4.79352611189032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79352611189032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79352611189032e-05×40589641000000     		ar = 187791.642915161m²