Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39451 / 41915
↖ ↑ ↗
← S 44.820812°
E 36.710815°		 ← 433.24 m → S 44.820812°
E 36.716308°		 →
↑
433.29 m
↓
↑
433.29 m
↓
S 44.824709°
E 36.710815°		 ← 433.21 m →
187 713 m²		 S 44.824709°
E 36.716308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601982116699219 y=0.639579772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601982116699219 × 216)
    floor (0.601982116699219 × 65536)
    floor (39451.5)     		tx = 39451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639579772949219 × 216)
    floor (0.639579772949219 × 65536)
    floor (41915.5)     		ty = 41915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39451 / 41915 ti = "16/39451/41915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39451/41915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39451 ÷ 216
    39451 ÷ 65536     		x = 0.601974487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41915 ÷ 216
    41915 ÷ 65536     		y = 0.639572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601974487304688 × 2 - 1) × π
    0.203948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64072460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639572143554688 × 2 - 1) × π
    -0.279144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876957641649307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64072460} λ = 0.64072460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876957641649307))-π/2
    2×atan(0.41604675148862)-π/2
    2×0.394262791720798-π/2
    0.788525583441595-1.57079632675     		φ = -0.78227074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64072460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.710815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78227074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.820812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39451 KachelY 41915 0.64072460 -0.78227074 36.710815 -44.820812
    Oben rechts KachelX + 1 39452 KachelY 41915 0.64082047 -0.78227074 36.716308 -44.820812
    Unten links KachelX 39451 KachelY + 1 41916 0.64072460 -0.78233875 36.710815 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 39452 KachelY + 1 41916 0.64082047 -0.78233875 36.716308 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78227074--0.78233875) × R
    6.80100000000072e-05 × 6371000     		dl = 433.291710000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78227074--0.78233875) × R
    6.80100000000072e-05 × 6371000     		dr = 433.291710000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64072460-0.64082047) × cos(-0.78227074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709314741849531 × 6371000     		do = 433.240769402392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64072460-0.64082047) × cos(-0.78233875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 433.211487418972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78227074)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709314741849531-0.709266800510727)×R²
    abs(0.64082047-0.64072460)×4.79413388044803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79413388044803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79413388044803e-05×40589641000000     		ar = 187713.290068021m²