Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39451 / 30154
↖ ↑ ↗
← N 14.211139°
E 36.710815°		 ← 592.10 m → N 14.211139°
E 36.716308°		 →
↑
592.12 m
↓
↑
592.12 m
↓
N 14.205814°
E 36.710815°		 ← 592.11 m →
350 597 m²		 N 14.205814°
E 36.716308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601982116699219 y=0.460121154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601982116699219 × 216)
    floor (0.601982116699219 × 65536)
    floor (39451.5)     		tx = 39451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460121154785156 × 216)
    floor (0.460121154785156 × 65536)
    floor (30154.5)     		ty = 30154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39451 / 30154 ti = "16/39451/30154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39451/30154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39451 ÷ 216
    39451 ÷ 65536     		x = 0.601974487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30154 ÷ 216
    30154 ÷ 65536     		y = 0.460113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601974487304688 × 2 - 1) × π
    0.203948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64072460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460113525390625 × 2 - 1) × π
    0.07977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.250614111213654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64072460} λ = 0.64072460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250614111213654))-π/2
    2×atan(1.28481419326823)-π/2
    2×0.909413744291178-π/2
    1.81882748858236-1.57079632675     		φ = 0.24803116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64072460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.710815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24803116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.211139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39451 KachelY 30154 0.64072460 0.24803116 36.710815 14.211139
    Oben rechts KachelX + 1 39452 KachelY 30154 0.64082047 0.24803116 36.716308 14.211139
    Unten links KachelX 39451 KachelY + 1 30155 0.64072460 0.24793822 36.710815 14.205814
    Unten rechts KachelX + 1 39452 KachelY + 1 30155 0.64082047 0.24793822 36.716308 14.205814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24803116-0.24793822) × R
    9.29400000000136e-05 × 6371000     		dl = 592.120740000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24803116-0.24793822) × R
    9.29400000000136e-05 × 6371000     		dr = 592.120740000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64072460-0.64082047) × cos(0.24803116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969397642295096 × 6371000     		do = 592.096224180666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64072460-0.64082047) × cos(0.24793822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969420454492372 × 6371000     		du = 592.110157591769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24803116)-sin(0.24793822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969397642295096-0.969420454492372)×R²
    abs(0.64082047-0.64072460)×2.28121972760675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28121972760675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28121972760675e-05×40589641000000     		ar = 350596.579796315m²