Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39450 / 41586
↖ ↑ ↗
← S 43.524655°
E 36.705322°		 ← 442.87 m → S 43.524655°
E 36.710815°		 →
↑
442.85 m
↓
↑
442.85 m
↓
S 43.528638°
E 36.705322°		 ← 442.84 m →
196 117 m²		 S 43.528638°
E 36.710815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601966857910156 y=0.634559631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601966857910156 × 216)
    floor (0.601966857910156 × 65536)
    floor (39450.5)     		tx = 39450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634559631347656 × 216)
    floor (0.634559631347656 × 65536)
    floor (41586.5)     		ty = 41586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39450 / 41586 ti = "16/39450/41586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39450/41586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39450 ÷ 216
    39450 ÷ 65536     		x = 0.601959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41586 ÷ 216
    41586 ÷ 65536     		y = 0.634552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601959228515625 × 2 - 1) × π
    0.20391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64062873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.26910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.84541516169931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64062873} λ = 0.64062873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84541516169931))-π/2
    2×atan(0.42937905946192)-π/2
    2×0.405573895573934-π/2
    0.811147791147868-1.57079632675     		φ = -0.75964854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64062873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.705322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75964854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.524655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39450 KachelY 41586 0.64062873 -0.75964854 36.705322 -43.524655
    Oben rechts KachelX + 1 39451 KachelY 41586 0.64072460 -0.75964854 36.710815 -43.524655
    Unten links KachelX 39450 KachelY + 1 41587 0.64062873 -0.75971805 36.705322 -43.528638
    Unten rechts KachelX + 1 39451 KachelY + 1 41587 0.64072460 -0.75971805 36.710815 -43.528638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75964854--0.75971805) × R
    6.95099999999949e-05 × 6371000     		dl = 442.848209999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75964854--0.75971805) × R
    6.95099999999949e-05 × 6371000     		dr = 442.848209999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64062873-0.64072460) × cos(-0.75964854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72507809429965 × 6371000     		do = 442.868832293123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64062873-0.64072460) × cos(-0.75971805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725030223329071 × 6371000     		du = 442.839593289755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75964854)-sin(-0.75971805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72507809429965-0.725030223329071)×R²
    abs(0.64072460-0.64062873)×4.78709705794556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78709705794556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78709705794556e-05×40589641000000     		ar = 196117.195504407m²