Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3945 / 4835
↖ ↑ ↗
← S 30.864510°
W  6.635742°		 ← 4 194.48 m → S 30.864510°
W  6.591797°		 →
↑
4 193.65 m
↓
↑
4 193.65 m
↓
S 30.902225°
W  6.635742°		 ← 4 192.83 m →
17 586 716 m²		 S 30.902225°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48162841796875 y=0.59027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48162841796875 × 213)
    floor (0.48162841796875 × 8192)
    floor (3945.5)     		tx = 3945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59027099609375 × 213)
    floor (0.59027099609375 × 8192)
    floor (4835.5)     		ty = 4835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3945 / 4835 ti = "13/3945/4835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3945/4835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3945 ÷ 213
    3945 ÷ 8192     		x = 0.4815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4835 ÷ 213
    4835 ÷ 8192     		y = 0.5902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.566805901107544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11581555} λ = -0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566805901107544))-π/2
    2×atan(0.567334670771833)-π/2
    2×0.516054500672567-π/2
    1.03210900134513-1.57079632675     		φ = -0.53868733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53868733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.864510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3945 KachelY 4835 -0.11581555 -0.53868733 -6.635742 -30.864510
    Oben rechts KachelX + 1 3946 KachelY 4835 -0.11504856 -0.53868733 -6.591797 -30.864510
    Unten links KachelX 3945 KachelY + 1 4836 -0.11581555 -0.53934557 -6.635742 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 3946 KachelY + 1 4836 -0.11504856 -0.53934557 -6.591797 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53868733--0.53934557) × R
    0.000658240000000032 × 6371000     		dl = 4193.6470400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53868733--0.53934557) × R
    0.000658240000000032 × 6371000     		dr = 4193.6470400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11581555--0.11504856) × cos(-0.53868733) × R
    0.000766990000000009 × 0.858382833102277 × 6371000     		do = 4194.48195420552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11581555--0.11504856) × cos(-0.53934557) × R
    0.000766990000000009 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 4192.83095757821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53868733)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858382833102277-0.858044963687684)×R²
    abs(-0.11504856--0.11581555)×0.000337869414592906×R²
    0.000766990000000009×0.000337869414592906×6371000²
    0.000766990000000009×0.000337869414592906×40589641000000     		ar = 17586715.6180265m²