Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39449 / 30138
↖ ↑ ↗
← N 14.296324°
E 36.699829°		 ← 591.93 m → N 14.296324°
E 36.705322°		 →
↑
591.93 m
↓
↑
591.93 m
↓
N 14.291000°
E 36.699829°		 ← 591.95 m →
350 388 m²		 N 14.291000°
E 36.705322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601951599121094 y=0.459877014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601951599121094 × 216)
    floor (0.601951599121094 × 65536)
    floor (39449.5)     		tx = 39449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459877014160156 × 216)
    floor (0.459877014160156 × 65536)
    floor (30138.5)     		ty = 30138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39449 / 30138 ti = "16/39449/30138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39449/30138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39449 ÷ 216
    39449 ÷ 65536     		x = 0.601943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30138 ÷ 216
    30138 ÷ 65536     		y = 0.459869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601943969726562 × 2 - 1) × π
    0.203887939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64053285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459869384765625 × 2 - 1) × π
    0.08026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.252148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64053285} λ = 0.64053285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252148092001495))-π/2
    2×atan(1.28678658597614)-π/2
    2×0.91015712271472-π/2
    1.82031424542944-1.57079632675     		φ = 0.24951792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64053285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.699829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24951792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.296324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39449 KachelY 30138 0.64053285 0.24951792 36.699829 14.296324
    Oben rechts KachelX + 1 39450 KachelY 30138 0.64062873 0.24951792 36.705322 14.296324
    Unten links KachelX 39449 KachelY + 1 30139 0.64053285 0.24942501 36.699829 14.291000
    Unten rechts KachelX + 1 39450 KachelY + 1 30139 0.64062873 0.24942501 36.705322 14.291000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24951792-0.24942501) × R
    9.29100000000016e-05 × 6371000     		dl = 591.92961000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24951792-0.24942501) × R
    9.29100000000016e-05 × 6371000     		dr = 591.92961000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64053285-0.64062873) × cos(0.24951792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.969031577618536 × 6371000     		do = 591.934373354629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64053285-0.64062873) × cos(0.24942501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.969054516337579 × 6371000     		du = 591.948385505106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24951792)-sin(0.24942501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969031577618536-0.969054516337579)×R²
    abs(0.64062873-0.64053285)×2.29387190432417e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.29387190432417e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.29387190432417e-05×40589641000000     		ar = 350387.630120809m²