Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39448 / 41589
↖ ↑ ↗
← S 43.536603°
E 36.694336°		 ← 442.78 m → S 43.536603°
E 36.699829°		 →
↑
442.78 m
↓
↑
442.78 m
↓
S 43.540585°
E 36.694336°		 ← 442.75 m →
196 050 m²		 S 43.540585°
E 36.699829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601936340332031 y=0.634605407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601936340332031 × 216)
    floor (0.601936340332031 × 65536)
    floor (39448.5)     		tx = 39448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634605407714844 × 216)
    floor (0.634605407714844 × 65536)
    floor (41589.5)     		ty = 41589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39448 / 41589 ti = "16/39448/41589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39448/41589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39448 ÷ 216
    39448 ÷ 65536     		x = 0.6019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41589 ÷ 216
    41589 ÷ 65536     		y = 0.634597778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6019287109375 × 2 - 1) × π
    0.203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64043698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634597778320312 × 2 - 1) × π
    -0.269195556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.845702783097031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64043698} λ = 0.64043698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845702783097031))-π/2
    2×atan(0.429255578615404)-π/2
    2×0.405469631913156-π/2
    0.810939263826312-1.57079632675     		φ = -0.75985706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64043698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.694336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75985706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.536603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39448 KachelY 41589 0.64043698 -0.75985706 36.694336 -43.536603
    Oben rechts KachelX + 1 39449 KachelY 41589 0.64053285 -0.75985706 36.699829 -43.536603
    Unten links KachelX 39448 KachelY + 1 41590 0.64043698 -0.75992656 36.694336 -43.540585
    Unten rechts KachelX + 1 39449 KachelY + 1 41590 0.64053285 -0.75992656 36.699829 -43.540585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75985706--0.75992656) × R
    6.95000000000556e-05 × 6371000     		dl = 442.784500000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75985706--0.75992656) × R
    6.95000000000556e-05 × 6371000     		dr = 442.784500000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64043698-0.64053285) × cos(-0.75985706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724934477767066 × 6371000     		do = 442.781113071451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64043698-0.64053285) × cos(-0.75992656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724886603177111 × 6371000     		du = 442.751871857413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75985706)-sin(-0.75992656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724934477767066-0.724886603177111)×R²
    abs(0.64053285-0.64043698)×4.78745899548105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78745899548105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78745899548105e-05×40589641000000     		ar = 196050.140061834m²