Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39447 / 41907
↖ ↑ ↗
← S 44.789633°
E 36.688843°		 ← 433.47 m → S 44.789633°
E 36.694336°		 →
↑
433.48 m
↓
↑
433.48 m
↓
S 44.793531°
E 36.688843°		 ← 433.45 m →
187 898 m²		 S 44.793531°
E 36.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601921081542969 y=0.639457702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601921081542969 × 216)
    floor (0.601921081542969 × 65536)
    floor (39447.5)     		tx = 39447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639457702636719 × 216)
    floor (0.639457702636719 × 65536)
    floor (41907.5)     		ty = 41907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39447 / 41907 ti = "16/39447/41907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39447/41907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39447 ÷ 216
    39447 ÷ 65536     		x = 0.601913452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41907 ÷ 216
    41907 ÷ 65536     		y = 0.639450073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601913452148438 × 2 - 1) × π
    0.203826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64034111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639450073242188 × 2 - 1) × π
    -0.278900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876190651255386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64034111} λ = 0.64034111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876190651255386))-π/2
    2×atan(0.416365977756525)-π/2
    2×0.394534884049194-π/2
    0.789069768098388-1.57079632675     		φ = -0.78172656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64034111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.688843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78172656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.789633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39447 KachelY 41907 0.64034111 -0.78172656 36.688843 -44.789633
    Oben rechts KachelX + 1 39448 KachelY 41907 0.64043698 -0.78172656 36.694336 -44.789633
    Unten links KachelX 39447 KachelY + 1 41908 0.64034111 -0.78179460 36.688843 -44.793531
    Unten rechts KachelX + 1 39448 KachelY + 1 41908 0.64043698 -0.78179460 36.694336 -44.793531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78172656--0.78179460) × R
    6.8040000000047e-05 × 6371000     		dl = 433.482840000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78172656--0.78179460) × R
    6.8040000000047e-05 × 6371000     		dr = 433.482840000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64034111-0.64043698) × cos(-0.78172656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709698224881828 × 6371000     		do = 433.474996148521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64034111-0.64043698) × cos(-0.78179460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709650288664124 × 6371000     		du = 433.445717293007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78172656)-sin(-0.78179460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709698224881828-0.709650288664124)×R²
    abs(0.64043698-0.64034111)×4.79362177040477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79362177040477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79362177040477e-05×40589641000000     		ar = 187897.626531289m²