Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39442 / 30158
↖ ↑ ↗
← N 14.189838°
E 36.661377°		 ← 592.15 m → N 14.189838°
E 36.666870°		 →
↑
592.18 m
↓
↑
592.18 m
↓
N 14.184512°
E 36.661377°		 ← 592.17 m →
350 667 m²		 N 14.184512°
E 36.666870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601844787597656 y=0.460182189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601844787597656 × 216)
    floor (0.601844787597656 × 65536)
    floor (39442.5)     		tx = 39442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460182189941406 × 216)
    floor (0.460182189941406 × 65536)
    floor (30158.5)     		ty = 30158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39442 / 30158 ti = "16/39442/30158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39442/30158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39442 ÷ 216
    39442 ÷ 65536     		x = 0.601837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30158 ÷ 216
    30158 ÷ 65536     		y = 0.460174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601837158203125 × 2 - 1) × π
    0.20367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63986174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460174560546875 × 2 - 1) × π
    0.07965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.250230616016693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63986174} λ = 0.63986174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.250230616016693))-π/2
    2×atan(1.28432156766194)-π/2
    2×0.909227855875429-π/2
    1.81845571175086-1.57079632675     		φ = 0.24765939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63986174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.661377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24765939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.189838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39442 KachelY 30158 0.63986174 0.24765939 36.661377 14.189838
    Oben rechts KachelX + 1 39443 KachelY 30158 0.63995761 0.24765939 36.666870 14.189838
    Unten links KachelX 39442 KachelY + 1 30159 0.63986174 0.24756644 36.661377 14.184512
    Unten rechts KachelX + 1 39443 KachelY + 1 30159 0.63995761 0.24756644 36.666870 14.184512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24765939-0.24756644) × R
    9.29500000000083e-05 × 6371000     		dl = 592.184450000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24765939-0.24756644) × R
    9.29500000000083e-05 × 6371000     		dr = 592.184450000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63986174-0.63995761) × cos(0.24765939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969488843292553 × 6371000     		do = 592.151928634525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63986174-0.63995761) × cos(0.24756644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969511624443391 × 6371000     		du = 592.165843082843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24765939)-sin(0.24756644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969488843292553-0.969511624443391)×R²
    abs(0.63995761-0.63986174)×2.27811508377584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.27811508377584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.27811508377584e-05×40589641000000     		ar = 350667.284387371m²