Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3944 / 4856
↖ ↑ ↗
← S 31.653381°
W  6.679688°		 ← 4 159.57 m → S 31.653381°
W  6.635742°		 →
↑
4 158.73 m
↓
↑
4 158.73 m
↓
S 31.690782°
W  6.679688°		 ← 4 157.90 m →
17 295 066 m²		 S 31.690782°
W  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48150634765625 y=0.59283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48150634765625 × 213)
    floor (0.48150634765625 × 8192)
    floor (3944.5)     		tx = 3944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59283447265625 × 213)
    floor (0.59283447265625 × 8192)
    floor (4856.5)     		ty = 4856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3944 / 4856 ti = "13/3944/4856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3944/4856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3944 ÷ 213
    3944 ÷ 8192     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4856 ÷ 213
    4856 ÷ 8192     		y = 0.5927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582912699379883))-π/2
    2×atan(0.558269923673894)-π/2
    2×0.509170300997706-π/2
    1.01834060199541-1.57079632675     		φ = -0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3944 KachelY 4856 -0.11658254 -0.55245572 -6.679688 -31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 3945 KachelY 4856 -0.11581555 -0.55245572 -6.635742 -31.653381
    Unten links KachelX 3944 KachelY + 1 4857 -0.11658254 -0.55310848 -6.679688 -31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 3945 KachelY + 1 4857 -0.11581555 -0.55310848 -6.635742 -31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55245572--0.55310848) × R
    0.00065276000000003 × 6371000     		dl = 4158.73396000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55245572--0.55310848) × R
    0.00065276000000003 × 6371000     		dr = 4158.73396000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11581555) × cos(-0.55245572) × R
    0.000766989999999995 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 4159.57062848662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11581555) × cos(-0.55310848) × R
    0.000766989999999995 × 0.850895643059874 × 6371000     		du = 4157.89585030228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55245572)-sin(-0.55310848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.850895643059874)×R²
    abs(-0.11581555--0.11658254)×0.000342736208757799×R²
    0.000766989999999995×0.000342736208757799×6371000²
    0.000766989999999995×0.000342736208757799×40589641000000     		ar = 17295065.7673641m²