Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3944 / 4833
↖ ↑ ↗
← S 30.789036°
W  6.679688°		 ← 4 197.78 m → S 30.789036°
W  6.635742°		 →
↑
4 196.96 m
↓
↑
4 196.96 m
↓
S 30.826781°
W  6.679688°		 ← 4 196.13 m →
17 614 458 m²		 S 30.826781°
W  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48150634765625 y=0.59002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48150634765625 × 213)
    floor (0.48150634765625 × 8192)
    floor (3944.5)     		tx = 3944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59002685546875 × 213)
    floor (0.59002685546875 × 8192)
    floor (4833.5)     		ty = 4833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3944 / 4833 ti = "13/3944/4833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3944/4833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3944 ÷ 213
    3944 ÷ 8192     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4833 ÷ 213
    4833 ÷ 8192     		y = 0.5899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.565271920319702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565271920319702))-π/2
    2×atan(0.568205619095286)-π/2
    2×0.516713130990865-π/2
    1.03342626198173-1.57079632675     		φ = -0.53737006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53737006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.789036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3944 KachelY 4833 -0.11658254 -0.53737006 -6.679688 -30.789036
    Oben rechts KachelX + 1 3945 KachelY 4833 -0.11581555 -0.53737006 -6.635742 -30.789036
    Unten links KachelX 3944 KachelY + 1 4834 -0.11658254 -0.53802882 -6.679688 -30.826781
    Unten rechts KachelX + 1 3945 KachelY + 1 4834 -0.11581555 -0.53802882 -6.635742 -30.826781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53737006--0.53802882) × R
    0.00065875999999998 × 6371000     		dl = 4196.95995999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53737006--0.53802882) × R
    0.00065875999999998 × 6371000     		dr = 4196.95995999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11581555) × cos(-0.53737006) × R
    0.000766989999999995 × 0.859057860409472 × 6371000     		do = 4197.78047061262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11581555) × cos(-0.53802882) × R
    0.000766989999999995 × 0.858720468956848 × 6371000     		du = 4196.13180954327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53737006)-sin(-0.53802882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859057860409472-0.858720468956848)×R²
    abs(-0.11581555--0.11658254)×0.000337391452623792×R²
    0.000766989999999995×0.000337391452623792×6371000²
    0.000766989999999995×0.000337391452623792×40589641000000     		ar = 17614457.5107872m²