Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39438 / 41582
↖ ↑ ↗
← S 43.508721°
E 36.639404°		 ← 442.99 m → S 43.508721°
E 36.644897°		 →
↑
443.04 m
↓
↑
443.04 m
↓
S 43.512705°
E 36.639404°		 ← 442.96 m →
196 254 m²		 S 43.512705°
E 36.644897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601783752441406 y=0.634498596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601783752441406 × 216)
    floor (0.601783752441406 × 65536)
    floor (39438.5)     		tx = 39438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634498596191406 × 216)
    floor (0.634498596191406 × 65536)
    floor (41582.5)     		ty = 41582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39438 / 41582 ti = "16/39438/41582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39438/41582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39438 ÷ 216
    39438 ÷ 65536     		x = 0.601776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41582 ÷ 216
    41582 ÷ 65536     		y = 0.634490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601776123046875 × 2 - 1) × π
    0.20355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63947824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.26898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84503166650235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63947824} λ = 0.63947824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84503166650235))-π/2
    2×atan(0.429543755847017)-π/2
    2×0.405712945916823-π/2
    0.811425891833647-1.57079632675     		φ = -0.75937043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63947824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.639404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75937043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.508721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39438 KachelY 41582 0.63947824 -0.75937043 36.639404 -43.508721
    Oben rechts KachelX + 1 39439 KachelY 41582 0.63957411 -0.75937043 36.644897 -43.508721
    Unten links KachelX 39438 KachelY + 1 41583 0.63947824 -0.75943997 36.639404 -43.512705
    Unten rechts KachelX + 1 39439 KachelY + 1 41583 0.63957411 -0.75943997 36.644897 -43.512705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75937043--0.75943997) × R
    6.95399999999236e-05 × 6371000     		dl = 443.039339999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75937043--0.75943997) × R
    6.95399999999236e-05 × 6371000     		dr = 443.039339999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63947824-0.63957411) × cos(-0.75937043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725269591339041 × 6371000     		do = 442.985796342775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63947824-0.63957411) × cos(-0.75943997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725221713731182 × 6371000     		du = 442.956553285437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75937043)-sin(-0.75943997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725269591339041-0.725221713731182)×R²
    abs(0.63957411-0.63947824)×4.78776078592924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78776078592924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78776078592924e-05×40589641000000     		ar = 196253.657007372m²