Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3943 / 1851
↖ ↑ ↗
← N 69.733334°
W  6.723633°		 ← 1 692.63 m → N 69.733334°
W  6.679688°		 →
↑
1 693.22 m
↓
↑
1 693.22 m
↓
N 69.718107°
W  6.723633°		 ← 1 693.85 m →
2 867 031 m²		 N 69.718107°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48138427734375 y=0.22601318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48138427734375 × 213)
    floor (0.48138427734375 × 8192)
    floor (3943.5)     		tx = 3943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22601318359375 × 213)
    floor (0.22601318359375 × 8192)
    floor (1851.5)     		ty = 1851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3943 / 1851 ti = "13/3943/1851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3943/1851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3943 ÷ 213
    3943 ÷ 8192     		x = 0.4813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1851 ÷ 213
    1851 ÷ 8192     		y = 0.2259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2259521484375 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11734953} λ = -0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72189343435242))-π/2
    2×atan(5.59511241916221)-π/2
    2×1.3939363051417-π/2
    2.7878726102834-1.57079632675     		φ = 1.21707628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21707628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.733334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3943 KachelY 1851 -0.11734953 1.21707628 -6.723633 69.733334
    Oben rechts KachelX + 1 3944 KachelY 1851 -0.11658254 1.21707628 -6.679688 69.733334
    Unten links KachelX 3943 KachelY + 1 1852 -0.11734953 1.21681051 -6.723633 69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 3944 KachelY + 1 1852 -0.11658254 1.21681051 -6.679688 69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21707628-1.21681051) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dl = 1693.22066999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21707628-1.21681051) × R
    0.000265769999999943 × 6371000     		dr = 1693.22066999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11734953--0.11658254) × cos(1.21707628) × R
    0.000766989999999995 × 0.346389937209692 × 6371000     		do = 1692.63210389867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11734953--0.11658254) × cos(1.21681051) × R
    0.000766989999999995 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 1693.85032674837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21707628)-sin(1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346389937209692-0.346639241317444)×R²
    abs(-0.11658254--0.11734953)×0.000249304107751813×R²
    0.000766989999999995×0.000249304107751813×6371000²
    0.000766989999999995×0.000249304107751813×40589641000000     		ar = 2867031.04195851m²