Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39403 / 41901
↖ ↑ ↗
← S 44.766237°
E 36.447144°		 ← 433.65 m → S 44.766237°
E 36.452637°		 →
↑
433.61 m
↓
↑
433.61 m
↓
S 44.770137°
E 36.447144°		 ← 433.62 m →
188 029 m²		 S 44.770137°
E 36.452637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601249694824219 y=0.639366149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601249694824219 × 216)
    floor (0.601249694824219 × 65536)
    floor (39403.5)     		tx = 39403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639366149902344 × 216)
    floor (0.639366149902344 × 65536)
    floor (41901.5)     		ty = 41901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39403 / 41901 ti = "16/39403/41901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39403/41901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39403 ÷ 216
    39403 ÷ 65536     		x = 0.601242065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41901 ÷ 216
    41901 ÷ 65536     		y = 0.639358520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601242065429688 × 2 - 1) × π
    0.202484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63612266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639358520507812 × 2 - 1) × π
    -0.278717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.875615408459946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63612266} λ = 0.63612266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875615408459946))-π/2
    2×atan(0.416605558187348)-π/2
    2×0.394739049806692-π/2
    0.789478099613385-1.57079632675     		φ = -0.78131823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63612266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.447144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78131823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.766237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39403 KachelY 41901 0.63612266 -0.78131823 36.447144 -44.766237
    Oben rechts KachelX + 1 39404 KachelY 41901 0.63621853 -0.78131823 36.452637 -44.766237
    Unten links KachelX 39403 KachelY + 1 41902 0.63612266 -0.78138629 36.447144 -44.770137
    Unten rechts KachelX + 1 39404 KachelY + 1 41902 0.63621853 -0.78138629 36.452637 -44.770137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78131823--0.78138629) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dl = 433.610260000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78131823--0.78138629) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dr = 433.610260000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63612266-0.63621853) × cos(-0.78131823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709985836564088 × 6371000     		do = 433.650665846554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63612266-0.63621853) × cos(-0.78138629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709937905981814 × 6371000     		du = 433.621390433092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78131823)-sin(-0.78138629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709985836564088-0.709937905981814)×R²
    abs(0.63621853-0.63612266)×4.79305822745912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79305822745912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79305822745912e-05×40589641000000     		ar = 188029.030979519m²