Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3940 / 4824
↖ ↑ ↗
← S 30.448674°
W  6.855469°		 ← 4 212.57 m → S 30.448674°
W  6.811523°		 →
↑
4 211.74 m
↓
↑
4 211.74 m
↓
S 30.486551°
W  6.855469°		 ← 4 210.93 m →
17 738 783 m²		 S 30.486551°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48101806640625 y=0.58892822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48101806640625 × 213)
    floor (0.48101806640625 × 8192)
    floor (3940.5)     		tx = 3940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58892822265625 × 213)
    floor (0.58892822265625 × 8192)
    floor (4824.5)     		ty = 4824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3940 / 4824 ti = "13/3940/4824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3940/4824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3940 ÷ 213
    3940 ÷ 8192     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4824 ÷ 213
    4824 ÷ 8192     		y = 0.5888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5888671875 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558369006774414))-π/2
    2×atan(0.572141462123288)-π/2
    2×0.519683359119876-π/2
    1.03936671823975-1.57079632675     		φ = -0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3940 KachelY 4824 -0.11965050 -0.53142961 -6.855469 -30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 3941 KachelY 4824 -0.11888351 -0.53142961 -6.811523 -30.448674
    Unten links KachelX 3940 KachelY + 1 4825 -0.11965050 -0.53209069 -6.855469 -30.486551
    Unten rechts KachelX + 1 3941 KachelY + 1 4825 -0.11888351 -0.53209069 -6.811523 -30.486551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53142961--0.53209069) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dl = 4211.74067999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53142961--0.53209069) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dr = 4211.74067999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11888351) × cos(-0.53142961) × R
    0.000766990000000009 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 4212.56510889858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11888351) × cos(-0.53209069) × R
    0.000766990000000009 × 0.861748272126041 × 6371000     		du = 4210.92714941304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53142961)-sin(-0.53209069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.861748272126041)×R²
    abs(-0.11888351--0.11965050)×0.00033520141916199×R²
    0.000766990000000009×0.00033520141916199×6371000²
    0.000766990000000009×0.00033520141916199×40589641000000     		ar = 17738783.1520241m²