Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3940 / 4822
↖ ↑ ↗
← S 30.372875°
W  6.855469°		 ← 4 215.84 m → S 30.372875°
W  6.811523°		 →
↑
4 214.99 m
↓
↑
4 214.99 m
↓
S 30.410782°
W  6.855469°		 ← 4 214.20 m →
17 766 266 m²		 S 30.410782°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48101806640625 y=0.58868408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48101806640625 × 213)
    floor (0.48101806640625 × 8192)
    floor (3940.5)     		tx = 3940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58868408203125 × 213)
    floor (0.58868408203125 × 8192)
    floor (4822.5)     		ty = 4822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3940 / 4822 ti = "13/3940/4822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3940/4822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3940 ÷ 213
    3940 ÷ 8192     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4822 ÷ 213
    4822 ÷ 8192     		y = 0.588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556835025986572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556835025986572))-π/2
    2×atan(0.573019789630641)-π/2
    2×0.520344825739338-π/2
    1.04068965147868-1.57079632675     		φ = -0.53010668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53010668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.372875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3940 KachelY 4822 -0.11965050 -0.53010668 -6.855469 -30.372875
    Oben rechts KachelX + 1 3941 KachelY 4822 -0.11888351 -0.53010668 -6.811523 -30.372875
    Unten links KachelX 3940 KachelY + 1 4823 -0.11965050 -0.53076827 -6.855469 -30.410782
    Unten rechts KachelX + 1 3941 KachelY + 1 4823 -0.11888351 -0.53076827 -6.811523 -30.410782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53010668--0.53076827) × R
    0.00066158999999999 × 6371000     		dl = 4214.98988999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53010668--0.53076827) × R
    0.00066158999999999 × 6371000     		dr = 4214.98988999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11888351) × cos(-0.53010668) × R
    0.000766990000000009 × 0.862753135308383 × 6371000     		do = 4215.83740661092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11888351) × cos(-0.53076827) × R
    0.000766990000000009 × 0.862418429821831 × 6371000     		du = 4214.20187049676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53010668)-sin(-0.53076827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862753135308383-0.862418429821831)×R²
    abs(-0.11888351--0.11965050)×0.000334705486551901×R²
    0.000766990000000009×0.000334705486551901×6371000²
    0.000766990000000009×0.000334705486551901×40589641000000     		ar = 17766265.8106796m²