Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3939 / 4857
↖ ↑ ↗
← S 31.690782°
W  6.899414°		 ← 4 157.90 m → S 31.690782°
W  6.855469°		 →
↑
4 157.08 m
↓
↑
4 157.08 m
↓
S 31.728167°
W  6.899414°		 ← 4 156.22 m →
17 281 213 m²		 S 31.728167°
W  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48089599609375 y=0.59295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48089599609375 × 213)
    floor (0.48089599609375 × 8192)
    floor (3939.5)     		tx = 3939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59295654296875 × 213)
    floor (0.59295654296875 × 8192)
    floor (4857.5)     		ty = 4857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3939 / 4857 ti = "13/3939/4857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3939/4857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3939 ÷ 213
    3939 ÷ 8192     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4857 ÷ 213
    4857 ÷ 8192     		y = 0.5928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.583679689773804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583679689773804))-π/2
    2×atan(0.557841900171162)-π/2
    2×0.508843920880445-π/2
    1.01768784176089-1.57079632675     		φ = -0.55310848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55310848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.690782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3939 KachelY 4857 -0.12041749 -0.55310848 -6.899414 -31.690782
    Oben rechts KachelX + 1 3940 KachelY 4857 -0.11965050 -0.55310848 -6.855469 -31.690782
    Unten links KachelX 3939 KachelY + 1 4858 -0.12041749 -0.55376098 -6.899414 -31.728167
    Unten rechts KachelX + 1 3940 KachelY + 1 4858 -0.11965050 -0.55376098 -6.855469 -31.728167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55310848--0.55376098) × R
    0.000652499999999945 × 6371000     		dl = 4157.07749999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55310848--0.55376098) × R
    0.000652499999999945 × 6371000     		dr = 4157.07749999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.11965050) × cos(-0.55310848) × R
    0.000766989999999995 × 0.850895643059874 × 6371000     		do = 4157.89585030228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.11965050) × cos(-0.55376098) × R
    0.000766989999999995 × 0.850552681019615 × 6371000     		du = 4156.21996859383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55310848)-sin(-0.55376098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850895643059874-0.850552681019615)×R²
    abs(-0.11965050--0.12041749)×0.000342962040259076×R²
    0.000766989999999995×0.000342962040259076×6371000²
    0.000766989999999995×0.000342962040259076×40589641000000     		ar = 17281212.5146949m²