Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3938 / 1701
↖ ↑ ↗
← N 71.897238°
W  6.943359°		 ← 1 518.34 m → N 71.897238°
W  6.899414°		 →
↑
1 518.91 m
↓
↑
1 518.91 m
↓
N 71.883578°
W  6.943359°		 ← 1 519.45 m →
2 307 066 m²		 N 71.883578°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48077392578125 y=0.20770263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48077392578125 × 213)
    floor (0.48077392578125 × 8192)
    floor (3938.5)     		tx = 3938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20770263671875 × 213)
    floor (0.20770263671875 × 8192)
    floor (1701.5)     		ty = 1701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3938 / 1701 ti = "13/3938/1701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3938/1701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3938 ÷ 213
    3938 ÷ 8192     		x = 0.480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1701 ÷ 213
    1701 ÷ 8192     		y = 0.2076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2076416015625 × 2 - 1) × π
    0.584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83694199344055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12118448} λ = -0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83694199344055))-π/2
    2×atan(6.27731281647247)-π/2
    2×1.41281992706071-π/2
    2.82563985412142-1.57079632675     		φ = 1.25484353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25484353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.897238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3938 KachelY 1701 -0.12118448 1.25484353 -6.943359 71.897238
    Oben rechts KachelX + 1 3939 KachelY 1701 -0.12041749 1.25484353 -6.899414 71.897238
    Unten links KachelX 3938 KachelY + 1 1702 -0.12118448 1.25460512 -6.943359 71.883578
    Unten rechts KachelX + 1 3939 KachelY + 1 1702 -0.12041749 1.25460512 -6.899414 71.883578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25484353-1.25460512) × R
    0.000238410000000133 × 6371000     		dl = 1518.91011000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25484353-1.25460512) × R
    0.000238410000000133 × 6371000     		dr = 1518.91011000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12118448--0.12041749) × cos(1.25484353) × R
    0.000766989999999995 × 0.310722246203911 × 6371000     		do = 1518.34217112913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12118448--0.12041749) × cos(1.25460512) × R
    0.000766989999999995 × 0.3109488462562 × 6371000     		du = 1519.44945076415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25484353)-sin(1.25460512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310722246203911-0.3109488462562)×R²
    abs(-0.12041749--0.12118448)×0.000226600052288639×R²
    0.000766989999999995×0.000226600052288639×6371000²
    0.000766989999999995×0.000226600052288639×40589641000000     		ar = 2307066.21421404m²