Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3937 / 4943
↖ ↑ ↗
← S 34.849875°
W  6.987305°		 ← 4 010.11 m → S 34.849875°
W  6.943359°		 →
↑
4 009.27 m
↓
↑
4 009.27 m
↓
S 34.885931°
W  6.987305°		 ← 4 008.35 m →
16 074 095 m²		 S 34.885931°
W  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48065185546875 y=0.60345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48065185546875 × 213)
    floor (0.48065185546875 × 8192)
    floor (3937.5)     		tx = 3937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60345458984375 × 213)
    floor (0.60345458984375 × 8192)
    floor (4943.5)     		ty = 4943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3937 / 4943 ti = "13/3937/4943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3937/4943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3937 ÷ 213
    3937 ÷ 8192     		x = 0.4805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4943 ÷ 213
    4943 ÷ 8192     		y = 0.6033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.649640863651001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12195147} λ = -0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649640863651001))-π/2
    2×atan(0.522233296045773)-π/2
    2×0.481275631796985-π/2
    0.96255126359397-1.57079632675     		φ = -0.60824506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60824506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.849875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3937 KachelY 4943 -0.12195147 -0.60824506 -6.987305 -34.849875
    Oben rechts KachelX + 1 3938 KachelY 4943 -0.12118448 -0.60824506 -6.943359 -34.849875
    Unten links KachelX 3937 KachelY + 1 4944 -0.12195147 -0.60887436 -6.987305 -34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 3938 KachelY + 1 4944 -0.12118448 -0.60887436 -6.943359 -34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60824506--0.60887436) × R
    0.000629299999999944 × 6371000     		dl = 4009.27029999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60824506--0.60887436) × R
    0.000629299999999944 × 6371000     		dr = 4009.27029999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12195147--0.12118448) × cos(-0.60824506) × R
    0.000766990000000009 × 0.820652103168299 × 6371000     		do = 4010.11099555633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12195147--0.12118448) × cos(-0.60887436) × R
    0.000766990000000009 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 4008.3530199557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60824506)-sin(-0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820652103168299-0.82029234096332)×R²
    abs(-0.12118448--0.12195147)×0.00035976220497913×R²
    0.000766990000000009×0.00035976220497913×6371000²
    0.000766990000000009×0.00035976220497913×40589641000000     		ar = 16074095.3449764m²