Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3937 / 3625
↖ ↑ ↗
← N 70.311337°
W 93.493652°		 ← 823.14 m → N 70.311337°
W 93.471680°		 →
↑
823.26 m
↓
↑
823.26 m
↓
N 70.303933°
W 93.493652°		 ← 823.44 m →
677 782 m²		 N 70.303933°
W 93.471680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240325927734375 y=0.221282958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240325927734375 × 214)
    floor (0.240325927734375 × 16384)
    floor (3937.5)     		tx = 3937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221282958984375 × 214)
    floor (0.221282958984375 × 16384)
    floor (3625.5)     		ty = 3625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3937 / 3625 ti = "14/3937/3625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3937/3625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3937 ÷ 214
    3937 ÷ 16384     		x = 0.24029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3625 ÷ 214
    3625 ÷ 16384     		y = 0.22125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.5194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.63177206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22125244140625 × 2 - 1) × π
    0.5574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75142256451837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63177206} λ = -1.63177206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75142256451837))-π/2
    2×atan(5.76279479511741)-π/2
    2×1.39898032971554-π/2
    2.79796065943108-1.57079632675     		φ = 1.22716433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63177206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.493652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22716433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.311337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3937 KachelY 3625 -1.63177206 1.22716433 -93.493652 70.311337
    Oben rechts KachelX + 1 3938 KachelY 3625 -1.63138857 1.22716433 -93.471680 70.311337
    Unten links KachelX 3937 KachelY + 1 3626 -1.63177206 1.22703511 -93.493652 70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 3938 KachelY + 1 3626 -1.63138857 1.22703511 -93.471680 70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22716433-1.22703511) × R
    0.000129219999999819 × 6371000     		dl = 823.260619998846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22716433-1.22703511) × R
    0.000129219999999819 × 6371000     		dr = 823.260619998846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63177206--1.63138857) × cos(1.22716433) × R
    0.000383490000000153 × 0.336908966957804 × 6371000     		do = 823.140970955256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63177206--1.63138857) × cos(1.22703511) × R
    0.000383490000000153 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 823.43821888539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22716433)-sin(1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336908966957804-0.337030629584991)×R²
    abs(-1.63138857--1.63177206)×0.000121662627186991×R²
    0.000383490000000153×0.000121662627186991×6371000²
    0.000383490000000153×0.000121662627186991×40589641000000     		ar = 677781.903296399m²