Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39360 / 33216
↖ ↑ ↗
← N 66.018018°
W 71.894531°		 ← 124.11 m → N 66.018018°
W 71.891785°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
N 66.016902°
W 71.894531°		 ← 124.12 m →
15 404 m²		 N 66.016902°
W 71.891785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.300296783447266 y=0.253421783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.300296783447266 × 217)
    floor (0.300296783447266 × 131072)
    floor (39360.5)     		tx = 39360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253421783447266 × 217)
    floor (0.253421783447266 × 131072)
    floor (33216.5)     		ty = 33216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39360 / 33216 ti = "17/39360/33216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39360/33216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39360 ÷ 217
    39360 ÷ 131072     		x = 0.30029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33216 ÷ 217
    33216 ÷ 131072     		y = 0.25341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.25479628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25341796875 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.25479628} λ = -1.25479628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54932059572021))-π/2
    2×atan(4.70827027672257)-π/2
    2×1.36151405464835-π/2
    2.7230281092967-1.57079632675     		φ = 1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.25479628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39360 KachelY 33216 -1.25479628 1.15223178 -71.894531 66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 39361 KachelY 33216 -1.25474835 1.15223178 -71.891785 66.018018
    Unten links KachelX 39360 KachelY + 1 33217 -1.25479628 1.15221230 -71.894531 66.016902
    Unten rechts KachelX + 1 39361 KachelY + 1 33217 -1.25474835 1.15221230 -71.891785 66.016902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15223178-1.15221230) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15223178-1.15221230) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.25479628--1.25474835) × cos(1.15223178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 124.114194627361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.25479628--1.25474835) × cos(1.15221230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406467135242522 × 6371000     		du = 124.119629546017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15223178)-sin(1.15221230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.406467135242522)×R²
    abs(-1.25474835--1.25479628)×1.77982791632614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77982791632614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77982791632614e-05×40589641000000     		ar = 15403.7875381031m²