Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39360 / 30014
↖ ↑ ↗
← N 14.955399°
E 36.210937°		 ← 590.16 m → N 14.955399°
E 36.216431°		 →
↑
590.15 m
↓
↑
590.15 m
↓
N 14.950092°
E 36.210937°		 ← 590.17 m →
348 285 m²		 N 14.950092°
E 36.216431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600593566894531 y=0.457984924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600593566894531 × 216)
    floor (0.600593566894531 × 65536)
    floor (39360.5)     		tx = 39360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457984924316406 × 216)
    floor (0.457984924316406 × 65536)
    floor (30014.5)     		ty = 30014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39360 / 30014 ti = "16/39360/30014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39360/30014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39360 ÷ 216
    39360 ÷ 65536     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30014 ÷ 216
    30014 ÷ 65536     		y = 0.457977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457977294921875 × 2 - 1) × π
    0.08404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.264036443107269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.264036443107269))-π/2
    2×atan(1.30217565076312)-π/2
    2×0.915908642987922-π/2
    1.83181728597584-1.57079632675     		φ = 0.26102096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26102096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.955399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39360 KachelY 30014 0.63200008 0.26102096 36.210937 14.955399
    Oben rechts KachelX + 1 39361 KachelY 30014 0.63209596 0.26102096 36.216431 14.955399
    Unten links KachelX 39360 KachelY + 1 30015 0.63200008 0.26092833 36.210937 14.950092
    Unten rechts KachelX + 1 39361 KachelY + 1 30015 0.63209596 0.26092833 36.216431 14.950092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26102096-0.26092833) × R
    9.2630000000038e-05 × 6371000     		dl = 590.145730000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26102096-0.26092833) × R
    9.2630000000038e-05 × 6371000     		dr = 590.145730000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63209596) × cos(0.26102096) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.966127005557094 × 6371000     		do = 590.160111212815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63209596) × cos(0.26092833) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.96615090616429 × 6371000     		du = 590.174710934094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26102096)-sin(0.26092833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966127005557094-0.96615090616429)×R²
    abs(0.63209596-0.63200008)×2.39006071964809e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.39006071964809e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.39006071964809e-05×40589641000000     		ar = 348284.777879351m²