Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3936 / 2423
↖ ↑ ↗
← N 59.017941°
W  7.031250°		 ← 2 515.42 m → N 59.017941°
W  6.987305°		 →
↑
2 516.29 m
↓
↑
2 516.29 m
↓
N 58.995311°
W  7.031250°		 ← 2 517.07 m →
6 331 604 m²		 N 58.995311°
W  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48052978515625 y=0.29583740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48052978515625 × 213)
    floor (0.48052978515625 × 8192)
    floor (3936.5)     		tx = 3936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29583740234375 × 213)
    floor (0.29583740234375 × 8192)
    floor (2423.5)     		ty = 2423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3936 / 2423 ti = "13/3936/2423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3936/2423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3936 ÷ 213
    3936 ÷ 8192     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2423 ÷ 213
    2423 ÷ 8192     		y = 0.2957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2957763671875 × 2 - 1) × π
    0.408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28317492902966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28317492902966))-π/2
    2×atan(3.60807694802059)-π/2
    2×1.30042685172688-π/2
    2.60085370345377-1.57079632675     		φ = 1.03005738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03005738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.017941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3936 KachelY 2423 -0.12271846 1.03005738 -7.031250 59.017941
    Oben rechts KachelX + 1 3937 KachelY 2423 -0.12195147 1.03005738 -6.987305 59.017941
    Unten links KachelX 3936 KachelY + 1 2424 -0.12271846 1.02966242 -7.031250 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 3937 KachelY + 1 2424 -0.12195147 1.02966242 -6.987305 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03005738-1.02966242) × R
    0.000394959999999944 × 6371000     		dl = 2516.29015999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03005738-1.02966242) × R
    0.000394959999999944 × 6371000     		dr = 2516.29015999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.03005738) × R
    0.000766989999999995 × 0.514769652306471 × 6371000     		do = 2515.41845189119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.02966242) × R
    0.000766989999999995 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 2517.07287347005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03005738)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514769652306471-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.12195147--0.12271846)×0.000338570316313902×R²
    0.000766989999999995×0.000338570316313902×6371000²
    0.000766989999999995×0.000338570316313902×40589641000000     		ar = 6331604.28345145m²