Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3936 / 1828
↖ ↑ ↗
← N 70.080562°
W  7.031250°		 ← 1 664.82 m → N 70.080562°
W  6.987305°		 →
↑
1 665.44 m
↓
↑
1 665.44 m
↓
N 70.065584°
W  7.031250°		 ← 1 666.02 m →
2 773 665 m²		 N 70.065584°
W  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48052978515625 y=0.22320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48052978515625 × 213)
    floor (0.48052978515625 × 8192)
    floor (3936.5)     		tx = 3936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22320556640625 × 213)
    floor (0.22320556640625 × 8192)
    floor (1828.5)     		ty = 1828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3936 / 1828 ti = "13/3936/1828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3936/1828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3936 ÷ 213
    3936 ÷ 8192     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1828 ÷ 213
    1828 ÷ 8192     		y = 0.22314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22314453125 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7395342134126))-π/2
    2×atan(5.69469029446562)-π/2
    2×1.39696643904527-π/2
    2.79393287809054-1.57079632675     		φ = 1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3936 KachelY 1828 -0.12271846 1.22313655 -7.031250 70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 3937 KachelY 1828 -0.12195147 1.22313655 -6.987305 70.080562
    Unten links KachelX 3936 KachelY + 1 1829 -0.12271846 1.22287514 -7.031250 70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 3937 KachelY + 1 1829 -0.12195147 1.22287514 -6.987305 70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22313655-1.22287514) × R
    0.000261410000000017 × 6371000     		dl = 1665.44311000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22313655-1.22287514) × R
    0.000261410000000017 × 6371000     		dr = 1665.44311000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.22313655) × R
    0.000766989999999995 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 1664.82107429254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.22287514) × R
    0.000766989999999995 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 1666.02197338614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22313655)-sin(1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.340944287551892)×R²
    abs(-0.12195147--0.12271846)×0.000245758874990343×R²
    0.000766989999999995×0.000245758874990343×6371000²
    0.000766989999999995×0.000245758874990343×40589641000000     		ar = 2773664.81791802m²