Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3936 / 1699
↖ ↑ ↗
← N 71.924528°
W  7.031250°		 ← 1 516.13 m → N 71.924528°
W  6.987305°		 →
↑
1 516.68 m
↓
↑
1 516.68 m
↓
N 71.910888°
W  7.031250°		 ← 1 517.24 m →
2 300 323 m²		 N 71.910888°
W  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48052978515625 y=0.20745849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48052978515625 × 213)
    floor (0.48052978515625 × 8192)
    floor (3936.5)     		tx = 3936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20745849609375 × 213)
    floor (0.20745849609375 × 8192)
    floor (1699.5)     		ty = 1699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3936 / 1699 ti = "13/3936/1699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3936/1699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3936 ÷ 213
    3936 ÷ 8192     		x = 0.48046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1699 ÷ 213
    1699 ÷ 8192     		y = 0.2073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48046875 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2073974609375 × 2 - 1) × π
    0.585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83847597422839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12271846} λ = -0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83847597422839))-π/2
    2×atan(6.28694948307326)-π/2
    2×1.41305807437414-π/2
    2.82611614874828-1.57079632675     		φ = 1.25531982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25531982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.924528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3936 KachelY 1699 -0.12271846 1.25531982 -7.031250 71.924528
    Oben rechts KachelX + 1 3937 KachelY 1699 -0.12195147 1.25531982 -6.987305 71.924528
    Unten links KachelX 3936 KachelY + 1 1700 -0.12271846 1.25508176 -7.031250 71.910888
    Unten rechts KachelX + 1 3937 KachelY + 1 1700 -0.12195147 1.25508176 -6.987305 71.910888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25531982-1.25508176) × R
    0.00023806000000004 × 6371000     		dl = 1516.68026000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25531982-1.25508176) × R
    0.00023806000000004 × 6371000     		dr = 1516.68026000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.25531982) × R
    0.000766989999999995 × 0.310269496972307 × 6371000     		do = 1516.12981504685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12271846--0.12195147) × cos(1.25508176) × R
    0.000766989999999995 × 0.310495799593839 × 6371000     		du = 1517.23564128847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25531982)-sin(1.25508176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310269496972307-0.310495799593839)×R²
    abs(-0.12195147--0.12271846)×0.000226302621531838×R²
    0.000766989999999995×0.000226302621531838×6371000²
    0.000766989999999995×0.000226302621531838×40589641000000     		ar = 2300322.76535857m²