Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39348 / 41996
↖ ↑ ↗
← S 45.135555°
E 36.145020°		 ← 430.87 m → S 45.135555°
E 36.150513°		 →
↑
430.87 m
↓
↑
430.87 m
↓
S 45.139430°
E 36.145020°		 ← 430.84 m →
185 643 m²		 S 45.139430°
E 36.150513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600410461425781 y=0.640815734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600410461425781 × 216)
    floor (0.600410461425781 × 65536)
    floor (39348.5)     		tx = 39348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640815734863281 × 216)
    floor (0.640815734863281 × 65536)
    floor (41996.5)     		ty = 41996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39348 / 41996 ti = "16/39348/41996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39348/41996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39348 ÷ 216
    39348 ÷ 65536     		x = 0.60040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41996 ÷ 216
    41996 ÷ 65536     		y = 0.64080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60040283203125 × 2 - 1) × π
    0.2008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63084960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.2816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.884723419387756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63084960} λ = 0.63084960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884723419387756))-π/2
    2×atan(0.412828337804896)-π/2
    2×0.391516139776516-π/2
    0.783032279553031-1.57079632675     		φ = -0.78776405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63084960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.145020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78776405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.135555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39348 KachelY 41996 0.63084960 -0.78776405 36.145020 -45.135555
    Oben rechts KachelX + 1 39349 KachelY 41996 0.63094547 -0.78776405 36.150513 -45.135555
    Unten links KachelX 39348 KachelY + 1 41997 0.63084960 -0.78783168 36.145020 -45.139430
    Unten rechts KachelX + 1 39349 KachelY + 1 41997 0.63094547 -0.78783168 36.150513 -45.139430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78776405--0.78783168) × R
    6.76299999999852e-05 × 6371000     		dl = 430.870729999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78776405--0.78783168) × R
    6.76299999999852e-05 × 6371000     		dr = 430.870729999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63084960-0.63094547) × cos(-0.78776405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70543186930136 × 6371000     		do = 430.8691583375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63084960-0.63094547) × cos(-0.78783168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705383933049914 × 6371000     		du = 430.839879461377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78776405)-sin(-0.78783168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70543186930136-0.705383933049914)×R²
    abs(0.63094547-0.63084960)×4.79362514463899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79362514463899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79362514463899e-05×40589641000000     		ar = 185642.60115265m²