Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39346 / 41995
↖ ↑ ↗
← S 45.131680°
E 36.134033°		 ← 430.94 m → S 45.131680°
E 36.139527°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
S 45.135555°
E 36.134033°		 ← 430.91 m →
185 702 m²		 S 45.135555°
E 36.139527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600379943847656 y=0.640800476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600379943847656 × 216)
    floor (0.600379943847656 × 65536)
    floor (39346.5)     		tx = 39346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640800476074219 × 216)
    floor (0.640800476074219 × 65536)
    floor (41995.5)     		ty = 41995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39346 / 41995 ti = "16/39346/41995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39346/41995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39346 ÷ 216
    39346 ÷ 65536     		x = 0.600372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41995 ÷ 216
    41995 ÷ 65536     		y = 0.640792846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600372314453125 × 2 - 1) × π
    0.20074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63065785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640792846679688 × 2 - 1) × π
    -0.281585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.884627545588516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63065785} λ = 0.63065785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884627545588516))-π/2
    2×atan(0.412867919123451)-π/2
    2×0.391549957142277-π/2
    0.783099914284555-1.57079632675     		φ = -0.78769641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63065785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.134033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78769641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.131680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39346 KachelY 41995 0.63065785 -0.78769641 36.134033 -45.131680
    Oben rechts KachelX + 1 39347 KachelY 41995 0.63075373 -0.78769641 36.139527 -45.131680
    Unten links KachelX 39346 KachelY + 1 41996 0.63065785 -0.78776405 36.134033 -45.135555
    Unten rechts KachelX + 1 39347 KachelY + 1 41996 0.63075373 -0.78776405 36.139527 -45.135555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78769641--0.78776405) × R
    6.76400000000354e-05 × 6371000     		dl = 430.934440000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78769641--0.78776405) × R
    6.76400000000354e-05 × 6371000     		dr = 430.934440000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63065785-0.63075373) × cos(-0.78769641) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705479809413591 × 6371000     		do = 430.943385690626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63065785-0.63075373) × cos(-0.78776405) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70543186930136 × 6371000     		du = 430.914101402119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78769641)-sin(-0.78776405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705479809413591-0.70543186930136)×R²
    abs(0.63075373-0.63065785)×4.79401122304157e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79401122304157e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79401122304157e-05×40589641000000     		ar = 185702.036850866m²