Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39342 / 41999
↖ ↑ ↗
← S 45.147179°
E 36.112061°		 ← 430.78 m → S 45.147179°
E 36.117554°		 →
↑
430.81 m
↓
↑
430.81 m
↓
S 45.151053°
E 36.112061°		 ← 430.75 m →
185 577 m²		 S 45.151053°
E 36.117554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600318908691406 y=0.640861511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600318908691406 × 216)
    floor (0.600318908691406 × 65536)
    floor (39342.5)     		tx = 39342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640861511230469 × 216)
    floor (0.640861511230469 × 65536)
    floor (41999.5)     		ty = 41999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39342 / 41999 ti = "16/39342/41999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39342/41999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39342 ÷ 216
    39342 ÷ 65536     		x = 0.600311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41999 ÷ 216
    41999 ÷ 65536     		y = 0.640853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600311279296875 × 2 - 1) × π
    0.20062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63027436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640853881835938 × 2 - 1) × π
    -0.281707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885011040785477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63027436} λ = 0.63027436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885011040785477))-π/2
    2×atan(0.412709616615554)-π/2
    2×0.391414701466748-π/2
    0.782829402933496-1.57079632675     		φ = -0.78796692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63027436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.112061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78796692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.147179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39342 KachelY 41999 0.63027436 -0.78796692 36.112061 -45.147179
    Oben rechts KachelX + 1 39343 KachelY 41999 0.63037023 -0.78796692 36.117554 -45.147179
    Unten links KachelX 39342 KachelY + 1 42000 0.63027436 -0.78803454 36.112061 -45.151053
    Unten rechts KachelX + 1 39343 KachelY + 1 42000 0.63037023 -0.78803454 36.117554 -45.151053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78796692--0.78803454) × R
    6.7619999999935e-05 × 6371000     		dl = 430.807019999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78796692--0.78803454) × R
    6.7619999999935e-05 × 6371000     		dr = 430.807019999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63027436-0.63037023) × cos(-0.78796692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705288065046766 × 6371000     		do = 430.78132445752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63027436-0.63037023) × cos(-0.78803454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705240126207726 × 6371000     		du = 430.752044000926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78796692)-sin(-0.78803454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705288065046766-0.705240126207726)×R²
    abs(0.63037023-0.63027436)×4.79388390403068e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79388390403068e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79388390403068e-05×40589641000000     		ar = 185577.311618444m²